自测与真题演练

排序：12, 15, 18, 20, 40 → 中位数 = 18。

均值：\( \bar{x} = (12+18+15+40+20)/5 = 105/5 = 21 \)。

离差平方和：离差为 −9, −3, −6, 19, −1；平方为 81, 9, 36, 361, 1，和 = 488。

样本方差：\( s^2 = 488/(5-1) = 122 \)；\( s = \sqrt{122} = 11.05 \)。

变异系数：\( CV = 100\times 11.05/21 = 52.6\% \)。

偏态：\( \bar{x}=21 > \text{Median}=18 \)，分布右偏（positively/right skewed）——长尾向右，被 40 这个较大值拉高。

(a) \( P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) = 0.40+0.30-0.12 = 0.58 \)；\( P(A\mid B) = P(A\cap B)/P(B) = 0.12/0.30 = 0.40 \)。

(b) 比较 \( P(A)\times P(B) = 0.40\times 0.30 = 0.12 \) 与给定的 \( P(A\cap B)=0.12 \)：两者相等，所以 independent。等价地 \( P(A\mid B)=0.40=P(A) \)。

(c) \( A\cap B \) 的概率为 0.12 ≠ 0，说明两事件可以同时发生，所以不互斥（not mutually exclusive）。

(a) \( X\sim\text{Binomial}(n=20,\pi=0.08) \)：

\( P(X=2) = \binom{20}{2}(0.08)^2(0.92)^{18} = 190 \times 0.0064 \times 0.2230 = 0.2712 \)。

\( E[X] = n\pi = 20\times 0.08 = 1.6 \)；\( \Var(X) = n\pi(1-\pi) = 20\times 0.08\times 0.92 = 1.472 \)；\( \sigma = \sqrt{1.472} = 1.213 \)。

(b) \( z = (62-50)/10 = 1.20 \)；\( P(X>62) = 0.5 - P(0<Z<1.20) = 0.5 - 0.3849 = 0.1151 \)。

第 95 百分位对应 \( z = 1.645 \)（右侧 5%），故 \( x = \mu + z\sigma = 50 + 1.645(10) = 66.45 \)。

① 检验类型与方向：This is a test of one population mean. It is an upper-tail test because we ask whether the mean exceeds 20 ms.

② 定义符号：Define \( \mu \) as the mean response time of the service.

③ 假设：\( H_0:\mu \le 20 \) versus \( H_1:\mu > 20 \)。

④ 样本信息：\( n=25 \Rightarrow \df=24 \)；\( \alpha=0.05 \)；\( \sigma \) 未知 → 用 t。

⑤ 检验统计量：\( t_{calc} = \dfrac{21.6-20}{4.0/\sqrt{25}} = \dfrac{1.6}{0.8} = 2.000 \)。

⑥ 决策规则：Reject \( H_0 \) if \( t_{calc} > t_{0.05,24} = 1.711 \)。

⑦ 决策与结论：Since \( 2.000 > 1.711 \), reject \( H_0 \). There is sufficient evidence at the 5% level that the average response time exceeds 20 ms; the claim is not supported.

p 值法：\( P(t_{24}>2.000) \approx 0.028 < 0.05 \)，结论一致。

(a) 声明：方差未知且假定不等，用 Case 3（Welch）。

\( s_1^2/n_1 = 4.41/20 = 0.2205 \)；\( s_2^2/n_2 = 8.41/18 = 0.4672 \)；和为 0.6877，标准误 \( = \sqrt{0.6877} = 0.8293 \)。

\( \df = \dfrac{(0.2205+0.4672)^2}{\dfrac{0.2205^2}{19}+\dfrac{0.4672^2}{17}} = \dfrac{0.4729}{0.015397} = 30.71 \to 30 \)。

\( t_{calc} = \dfrac{12.4-13.8}{0.8293} = \dfrac{-1.4}{0.8293} = -1.688 \)；临界值 \( \pm t_{0.025,30} = \pm 2.042 \)。

Since \( |-1.688| < 2.042 \), do not reject \( H_0 \). 无证据表明两家供应商平均交付天数不同。

(b) 配对 t：\( t_{calc} = \dfrac{4.2}{5.6/\sqrt{12}} = \dfrac{4.2}{1.6166} = 2.598 \)；\( \df = 11 \)，\( t_{0.025,11} = 2.201 \)。

Since \( 2.598 > 2.201 \), reject \( H_0 \). 培训使成绩显著提升。

为何不用独立样本：同一名员工的两次成绩正相关。若当独立样本处理，会忽略这种相关性，高估标准误、降低检验功效。

(a) \( \bar{x}=120/12=10 \)，\( \bar{y}=840/12=70 \)。\( b_1 = SS_{xy}/SS_{xx} = 1540/440 = 3.50 \)；\( b_0 = \bar{y}-b_1\bar{x} = 70 - 3.50(10) = 35.0 \)。

\( \hat{y} = 35.0 + 3.50x \)。斜率 3.50：广告支出每增加 1 千元，销售额平均增加 3.50 万元。

(b) \( \mathrm{SSR} = \mathrm{SST}-\mathrm{SSE} = 8100-5670 = 2430 \)；\( R^2 = \mathrm{SSR}/\mathrm{SST} = 2430/8100 = 0.30 \)。解释：广告支出解释了销售额变异的 30%；其余 70% 来自模型之外的因素与随机波动。

(c) \( \df = n-2 = 10 \)；\( s_e = \sqrt{5670/10} = \sqrt{567} = 23.81 \)；\( s_{b_1} = s_e/\sqrt{SS_{xx}} = 23.81/\sqrt{440} = 23.81/20.976 = 1.135 \)。

\( t_{calc} = 3.50/1.135 = 3.084 \)；\( t_{0.05,10} = 1.812 \)；\( 3.084 > 1.812 \) → reject \( H_0 \)，存在显著正相关。

(d) \( \hat{y} = 35.0 + 3.50(15) = 87.5 \) 万元。\( t_{0.025,10} = 2.228 \)。

PI：\( 87.5 \pm 2.228(23.81)\sqrt{1+\dfrac{1}{12}+\dfrac{(15-10)^2}{440}} = 87.5 \pm 53.05\sqrt{1.14015} = 87.5 \pm 56.65 = [30.9,\ 144.2] \)。

（对比：条件均值 CI 为 \( 87.5 \pm 53.05\sqrt{0.14015} = [67.6,\ 107.4] \)——PI 明显更宽。）