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Week 4 · 离散分布

离散概率分布 · 二项分布 · 随机变量变换

这是全课程公式密度最高的一周，也是"记错公式就全错"的重灾区。请把本页的公式块抄到总结卡上——Week 4 的题几乎不考推理，只考"你会不会用对的那条公式"。

考点密度 ★★★★☆ 预计分值 8–11 分建议用时 2 小时公式最多 · 易记错

一、这一周在讲什么

随机变量（random variable, rv）就是把随机结果映射成数字的规则。比如"掷三次硬币中正面的个数"——结果本来是正面/反面，映射后变成 0,1,2,3 这些数字。离散型取值可数，连续型取值是区间上任意数。

1.1 一个合法的离散分布必须满足

离散概率分布的两个条件 \[ 0 \le P(x_i) \le 1 \quad \text{对每个 } i, \qquad \sum_i P(x_i) = 1 \]

考题常给一张 PDF 表让你求未知概率——用"合计为 1"解。

1.2 三个基础分布

均匀离散 \( U(a,b) \)：a 到 b 的每个整数等概率 \( 1/(b-a+1) \)。
Bernoulli：只有成功（X=1，概率 \( \pi \)）与失败（X=0）。
二项分布：n 次独立 Bernoulli 试验中成功的次数。

🎯

二项分布五大识别特征（必考）

① n 固定；② 每次试验只有成功/失败；③ \( \pi \) 恒定；④ 各次试验独立；⑤ X = n 次中成功的次数。
缺任何一条都不能用二项公式——这是选择题的常见陷阱（如"不放回抽样"就不满足独立性）。

1.3 二项分布的形状

\( \pi<0.5 \) 右偏，\( \pi>0.5 \) 左偏，\( \pi=0.5 \) 对称；n 越大偏度越小，形状越接近正态。

二、核心公式与图形

期望与方差（一般定义） \[ E[X] = \mu = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i), \qquad \Var(X) = \sigma^2 = \sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2 P(x_i), \qquad \sigma = \sqrt{\Var(X)} \]

期望是加权平均（中心），方差是"到中心的加权平方距离"（离散度）。

三个基础分布 \[ \text{均匀离散}: P(X=x)=\frac{1}{b-a+1},\quad \mu=\frac{a+b}{2},\quad \sigma^2=\frac{(b-a+1)^2-1}{12} \] \[ \text{Bernoulli}: E[X]=\pi,\quad \Var(X)=\pi(1-\pi) \] \[ \text{二项}: P(X=x)=\binom{n}{x}\pi^x(1-\pi)^{n-x},\quad E[X]=n\pi,\quad \Var(X)=n\pi(1-\pi) \]

均匀离散的标准差分母是 12，与连续均匀一致，不要记混。

线性变换与求和（本课的"组合拳"） \[ Y=aX+b:\quad E[Y]=aE[X]+b,\qquad \Var(Y)=a^2\Var(X),\qquad \sigma_Y=|a|\sigma_X \] \[ A=X+Y:\quad E[A]=E[X]+E[Y],\qquad \Var(A)=\Var(X)+\Var(Y)\ (\text{独立}) \] \[ \Var(A)=\Var(X)+\Var(Y)+2\,\mathrm{Cov}(X,Y)\ (\text{不独立}) \] \[ Q=aX+bY:\quad \Var(Q)=a^2\Var(X)+b^2\Var(Y)+2ab\,\mathrm{Cov}(X,Y) \]

加常数 b 只移动均值，不改变离散度——\( \Var(aX+b)=a^2\Var(X) \) 里没有 b。这是最常见的错。

图 1：二项分布的形状由 \( \pi \) 决定。\( \pi=0.5 \) 对称；偏离 0.5 越远越偏。

三、考点清单与预测题型

题型	出现概率	分值	拿分要点
表格由 PDF 表求 \( E[X],\Var(X),\sigma \)	必考	3–4	表格法逐步算；判断分布形状/众数。
计算二项概率 \( P(X=x) \) 与复合事件	必考	3–4	先写公式再代数字；"至少/至多"用互补事件。
变换 \( Y=aX+b \) 的期望与方差	较高	2–3	加常数只移均值；乘常数同时放大离散度。
案例组合投资 \( Q=aX+bY \) 的方差	中等	3	别忘协方差项；负协方差降低组合方差。
选择二项五大特征识别	较高	1	逐条核对，特别看"独立"。

依据：课件原题 "Quick Oil Change: \( \pi=0.10,\ n=12 \), compute \( P(X=2) \)" → \( \binom{12}{2}(0.1)^2(0.9)^{10} = 0.2301 \)；成绩变换原题 \( Y=X+20 \) 与 \( Y=1.5X \)；组合投资原题 \( Q=0.5M+0.5T \)（\( E[Q]=108,\ \Var(Q)=109 \)）。分值估计来自考试情报 §六的离散分布板块（8–11 分）。

四、典型例题精讲

例题 1 · 二项概率与期望方差 4

"Quick Oil Change" 每次服务出错概率 \( \pi=0.10 \)，今天服务 \( n=12 \) 辆车。求恰好 2 次出错的概率，以及出错次数的期望与标准差。

点击展开：解答与评分点

\( X\sim\text{Binomial}(n=12,\pi=0.10) \)。

\( P(X=2) = \binom{12}{2}(0.10)^2(0.90)^{10} = 66\times0.01\times0.3487 = 0.2301 \)。

\( E[X] = n\pi = 12\times0.10 = 1.2 \)；\( \Var(X) = n\pi(1-\pi) = 12\times0.1\times0.9 = 1.08 \)；\( \sigma = \sqrt{1.08} = 1.039 \)。

评分点：① 写出 \( \binom{n}{x}\pi^x(1-\pi)^{n-x} \) 再代数（2 分）｜② \( E[X]=n\pi \)（1 分）｜③ \( \sigma \) 而不是方差（1 分）。

陷阱：把 \( E \) 与 \( \Var \) 公式搞反；把标准差写成方差。

例题 2 · 随机变量线性变换 3

某课程成绩 \( \mu=40,\ \sigma=10 \)。(a) 若全体加 20 分（\( Y=X+20 \)），求 \( E[Y],\sigma_Y \)；(b) 若全体乘 1.5（\( Y=1.5X \)），求 \( E[Y],\sigma_Y \)。

点击展开：解答与评分点

(a) \( E[Y]=E[X]+20 = 60 \)；\( \sigma_Y = \sigma_X = 10 \)（加常数不改变离散度）。

(b) \( E[Y]=1.5\times40 = 60 \)；\( \sigma_Y = 1.5\times10 = 15 \)。

要能说出："加常数只移动均值、不变离散度；乘常数同时放大均值和离散度。"

评分点：① 两问的均值（1 分）｜② (a) 的 \( \sigma_Y=10 \)（1 分）｜③ (b) 的 \( \sigma_Y=15 \)（1 分）。

陷阱：写成 \( \Var(aX+b)=a^2\Var(X)+b^2 \) 或 \( (a+b)^2\Var(X) \)——都不对。

例题 3 · 组合投资的期望与方差 3

两资产 M、T 的均值分别为 108、108（示意），方差 \( \Var(M)=216,\ \Var(T)=484 \)，协方差 \( \mathrm{Cov}(M,T)=-132 \)。组合 \( Q=0.5M+0.5T \)。求 \( E[Q] \) 与 \( \Var(Q) \)。

点击展开：解答与评分点

\( E[Q] = 0.5(108)+0.5(108) = 108 \)。

\( \Var(Q) = 0.5^2(216)+0.5^2(484)+2(0.5)(0.5)(-132) = 54+121-66 = 109 \)。

解释：组合方差 109 明显低于单项方差 216 与 484，这就是"分散化降低风险"；负协方差进一步把方差拉低。

评分点：① 期望（1 分）｜② 方差公式含 \( 2ab\,\mathrm{Cov} \)（1 分）｜③ 数值 + 分散化解释（1 分）。

陷阱：漏掉协方差项，或把负号弄丢。

五、易错点与考场技巧

易错点	正确做法
\( \Var(aX+b) \) 里带了 b	\( \Var(aX+b)=a^2\Var(X) \)，b 不出现。
组合投资忘协方差项	\( \Var(aX+bY)=a^2\Var(X)+b^2\Var(Y)+2ab\,\mathrm{Cov}(X,Y) \)。
二项"至少/至多"硬算	用互补事件：\( P(X\ge 2)=1-P(X\le 1) \)。
均匀离散标准差公式分母写错	分母是 12，与连续均匀一致。
把"次数"与"比例"混用	二项分布 X 是次数；比例用 \( p=X/n \)，其方差不同。

💡

考场技巧

这周题目的失分几乎全在"公式记错"，而不是"不会想"。把本页三个 formula 块抄成一张卡，考前扫一遍即可。用 Excel 的 BINOM.DIST(x,n,π,0) 校验你的手算。

六、3 分钟自测

自测 1\( X\sim\text{Binomial}(12,0.10) \)。\( P(X=2) \) 等于？

A0.10

B0.0660

C0.2301

D1.2

自测 2\( \Var(3X+5) \) 等于？（\( \Var(X)=4 \)）

A36

B12

C41

自测 3下列哪种情形不能用二项分布？

A固定 10 次独立掷硬币，数正面个数

B从 10 个球中不放回抽 3 个，数红球个数

C固定 20 个零件，每个次品率恒定且独立

D固定 5 次独立射击，数命中次数

上一周：Week 3 · 概率与列联表｜下一周：Week 5 · 连续与正态分布