Week 8 · p 值与双样本（一）

p 值法 · 比例检验 · 独立样本均值比较

这一周把假设检验"补齐"：从临界值法扩展到 p 值法，从均值扩展到比例，从单样本扩展到双样本。两个独立的高分点：CI-检验等价性与Welch 自由度。

考点密度 ★★★★★ 预计分值 12–16 分建议用时 2 小时 Welch df 是高分点

一、这一周在讲什么

1.1 p 值的定义（必须背原话）

ℹ️

p 值

在 \( H_0 \) 为真的前提下，得到与观测检验统计量一样极端或更极端结果的概率（the probability, assuming \( H_0 \) is true, of obtaining a test statistic at least as extreme as the one observed）。

决策规则：\( p<\alpha \) 拒绝 \( H_0 \)，否则不拒绝。三种方向规则相同，区别只在如何计算 p 值。

更多 p 值直觉（含三种常见错误表述）见基础补强 §八。

1.2 CI 与双尾检验的等价性

等价性 \[ \text{显著性水平 } \alpha \text{ 的双尾检验} \iff (1-\alpha)\text{ 置信区间} \]

若 CI 不含 \( \mu_0 \)，则拒绝 \( H_0 \)。这是 Week 8–9 反复考的点，也是一句独立的得分句。

1.3 独立样本 vs 配对样本

独立样本：两组是不同的对象（如科罗拉多 vs 德州的药价）。配对样本：同一对象两次测量（下周详讲）。

1.4 双样本的三种情形

情形	条件	方法
Case 1	两总体方差已知	z 检验
Case 2	方差未知但假定相等	合并方差（pooled）t，\( \df=n_1+n_2-2 \)
Case 3（QM1 采用）	方差未知且假定不等	Welch t，用调整自由度

为什么 QM1 选 Case 3：它的假设最少、最稳健——不需要额外假定两总体方差相等。

二、核心公式与图形

比例检验 \[ z_{calc} = \frac{p-\pi_0}{\sqrt{\pi_0(1-\pi_0)/n}}, \qquad \text{前提：} n\pi_0 \ge 10 \text{ 且 } n(1-\pi_0) \ge 10 \]

检验的分母用原假设值 \( \pi_0 \)（因为在 \( H_0 \) 下做检验）；而比例 CI 用样本 \( p \)。这是最经典的混淆点。

独立样本双样本检验（Case 3，QM1 用） \[ H_0:\mu_1-\mu_2=D_0,\qquad t_{calc}=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-D_0}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}} \] \[ \df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}} \quad \text{（Welch，向下取整）} \]

Welch 自由度那一步是独立 1–2 分，很多人空着。向下取整（24.03 → 24）。

图 1：双尾 p 值 = 单尾 × 2。忘记乘 2 是本课最高频的计算失误。

三、考点清单与预测题型

题型	出现概率	分值	拿分要点
计算 p 值法检验	必考	3–4	区分双尾 p 值（×2）与单尾 p 值。
计算比例检验（含正态条件）	必考	3–4	先写条件检查；分母用 \( \pi_0 \)。
计算独立样本均值检验（含 Welch df）	必考	5–6	声明 Case 3；Welch df 手算并向下取整。
推理 CI 与检验的等价性	较高	2	CI 不含 \( \mu_0 \) ⇒ 拒绝。
概念 p 值的正确解释	较高	1	不能解释成"\( H_0 \) 为真的概率"。

依据：课件原题 \( t_{calc}=-1.534,\ \df=23 \)，双尾 p = T.DIST.2T(1.534,23) = 0.1387 > 0.10 → 不拒绝；退货率题（历史 13%，250 笔中 22 笔退货）；Zocor 药价题（Colorado vs Texas，\( n_1=16,n_2=13 \)）。分值估计来自考试情报 §六。

四、典型例题精讲

例题 1 · 比例检验（左尾，5%） 4

某零售商历史退货率 13%。近期 250 笔交易中有 22 笔退货。在 5% 显著性水平下检验退货率是否下降。

点击展开：解答与评分点

\( p = 22/250 = 0.088 \)。

正态条件检查：\( n\pi_0 = 250(0.13) = 32.5 \ge 10 \)；\( n(1-\pi_0) = 217.5 \ge 10 \) ✓，可用 z。

\( H_0:\pi \ge 0.13 \) versus \( H_1:\pi < 0.13 \)（左尾）。

\( z_{calc} = \dfrac{0.088-0.13}{\sqrt{0.13\times0.87/250}} = \dfrac{-0.042}{0.02127} = -1.975 \)。

临界值 \( z_{0.05}=-1.645 \)；\( -1.975 < -1.645 \) → reject \( H_0 \)。退货率显著低于历史水平。

评分点与陷阱：① 条件检查（1 分，必写）｜② 分母用 \( \pi_0=0.13 \) 而非样本 p（1 分）｜③ 单尾临界值用 \( z_{0.05}=-1.645 \)（1 分）｜④ 结论句（1 分）。

例题 2 · 独立样本均值检验（Zocor 药价） 6

科罗拉多：\( \bar{x}_1=133.994,\ s_1=11.015,\ n_1=16 \)；德州：\( \bar{x}_2=138.018,\ s_2=12.663,\ n_2=13 \)。检验两地平均药价是否有差异（\( \alpha=0.05 \)）。

点击展开：解答与评分点

声明：方差未知且假定不等，用 Case 3（Welch）。

\( s_1^2/n_1 = 11.015^2/16 = 121.33/16 = 7.5829 \)；\( s_2^2/n_2 = 12.663^2/13 = 160.35/13 = 12.3312 \)。

标准误 \( = \sqrt{7.5829+12.3312} = \sqrt{19.9141} = 4.4629 \)。

\( \df = \dfrac{(7.5829+12.3312)^2}{\dfrac{7.5829^2}{15}+\dfrac{12.3312^2}{12}} = \dfrac{396.57}{16.498} = 24.03 \to 24 \)。

\( t_{calc} = \dfrac{133.994-138.018}{4.4629} = \dfrac{-4.024}{4.4629} = -0.902 \)；临界值 \( \pm t_{0.025,24}=\pm 2.064 \)。

Since \( |-0.902| < 2.064 \), do not reject \( H_0 \). 无证据表明两地平均药价不同。

评分点（本题 6 分）：① 声明用 Case 3（1 分）｜② Welch df 公式与代入（2 分，最多人空着）｜③ 标准误（1 分）｜④ 临界值 ±2.064（1 分）｜⑤ 结论（1 分）。

例题 3 · CI 与检验的等价性 2

某检验的 90% 置信区间为 [140.677, 142.073]。在 10% 显著性水平下，能否拒绝 \( H_0:\mu=142 \)？

点击展开：解答与评分点

不能。因为 142 落在区间内，说明在该置信水平下 \( \mu=142 \) 是可能的，故 do not reject \( H_0 \)。

评分点：① 判断"不拒绝"（1 分）｜② 用"CI 是否包含 \( \mu_0 \)"给出理由（1 分）。

等价性：90% CI 对应的正是 10% 的双尾检验。

五、易错点与考场技巧

易错点	正确做法
双尾 p 值忘记乘 2	看到 \( H_1 \) 是 \( \neq \) 就 ×2。
比例检验分母用样本 p	检验用 \( \pi_0 \)；CI 用 \( p \)。
Welch df 向上取整	向下取整（24.03 → 24）。
以为 \( D_0 \) 一定是 0	题目问"差异是否超过 8"时 \( D_0=8 \)。
不声明方差假设	写明"方差不假定相等，故用 Case 3"，这也算分。

💡

考场技巧

独立样本题的第一句话永远是："The two samples are independent. Since the population variances are unknown and are not assumed equal, use Case 3 with the Welch degrees of freedom." 这一句话本身就是分。

六、3 分钟自测

自测 1双尾 t 检验得到 \( t_{calc}=1.534 \)、df=23，单尾 p 值 = 0.0693。双尾 p 值是多少？

A0.0693

B0.0347

C0.1387

D0.2774

自测 2比例检验的分母应该用哪个比例？

A样本比例 \( p \)

B原假设值 \( \pi_0 \)

C两者都可以

D0.5

自测 3Welch 自由度算出 24.03，应取？

A向下取整为 24

B四舍五入为 24

C向上取整为 25

D保留 24.03

上一周：Week 7 · 单样本假设检验｜下一周：Week 9 · 配对与两比例