Week 2 · 描述统计核心

图表选择 · 集中趋势 · 变异与相关

这是全课程最纯粹的计算题来源，也是最不该丢分的地方。Week 2 的每一个公式都会在期末出现至少一次——把它当成"必背必算"的清单，而不是"看一眼就好"的回顾。

考点密度 ★★★★☆ 预计分值 8–12 分建议用时 2 小时送分题 · 必须全拿

一、这一周在讲什么

Week 1 学会了"画图"，Week 2 学会"用数字概括"。任何一批数据，你只需要回答两件事：中心在哪（集中趋势）？分散到多开（变异性）？最后再加上"两个变量是不是一起动（相关）"。

1.1 图表选择：什么数据配什么图

图	适合	注意
折线图 line chart	时间趋势	横轴是时间
柱状图 column chart	垂直比较类别	纵轴从 0 开始
条形图 bar chart	水平比较类别	类别名很长时用
饼图 pie chart	部分之和为整体	仅当切片 2–5 个
散点图 scatter plot	两个数值变量的关系	不意味着因果

1.2 三个集中趋势测度

均值（mean）：所有值相加除以个数。对极端值敏感。
中位数（median）：排序后中间的值。稳健（robust），不受极端值牵引。
众数（mode）：出现次数最多的值。类别数据唯一可用的测度。

1.3 四个变异性测度

极差（range）、方差（variance）、标准差（standard deviation）、变异系数（coefficient of variation, CV）。其中样本方差的分母是 \( n-1 \)（自由度），总体方差的分母是 N——这是必考概念题。

二、核心公式与图形

集中趋势与离散度 \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}, \qquad s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}, \qquad s = \sqrt{s^2} \]

分母 \( n-1 \) 让 \( s^2 \) 成为 \( \sigma^2 \) 的无偏估计量。方差单位是原单位的平方，解释离散度时用标准差。

变异系数 · z 分数 · IQR \[ CV = 100 \times \frac{s}{\bar{x}}, \qquad z_i = \frac{x_i-\bar{x}}{s}, \qquad IQR = Q_3 - Q_1, \qquad R = x_{\max}-x_{\min} \]

CV 无单位，可跨数据集比较离散度（仅当均值 > 0）。\( |z|>2 \) 视为 unusual，\( |z|>3 \) 视为 outlier。

协方差与相关系数 \[ s_{XY} = \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n-1}, \qquad r = \frac{s_{XY}}{s_X s_Y} \] \[ r = \frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum (y_i-\bar{y})^2}}, \qquad -1 \le r \le 1 \]

协方差有单位、不可解释强弱；相关系数 \( r \) 无单位，才能解释强弱。Week 10 会用到 \( R^2 = r^2 \)（例：\( r=-0.71 \Rightarrow R^2=0.504 \)）。

图 1：相关系数只看"线性"关系。r ≈ 0 不代表无关系（可能存在完美的 U 形关系）。

2.1 百分位与四分位

百分位位置（本课程口径） \[ \text{position of } p\text{th percentile} = p(n+1) \]

\( Q_2 \) = 中位数；\( IQR = Q_3-Q_1 \) 刻画中间 50% 数据的离散度，对极端值不敏感。

三、考点清单与预测题型

题型	出现概率	分值	拿分要点
计算全套描述统计量	必考	5–8	离差法算平方和；分母 \( n-1 \)；每个量配一句解释。
计算百分位与 IQR	较高	2–3	先排序；位置公式 \( p(n+1) \)；需要时线性插值。
解释用 CV 比较离散度	中等	2–3	必须用 CV，因为单位或均值不同。
判断相关 ≠ 因果	中等	2	答"correlation does not imply causation; there may be a lurking variable."
简答为什么除以 \( n-1 \)	中等	1	提到"用掉一个自由度"与"无偏估计"。

依据：课件原题形态为 "The following P/E ratios were recorded for 44 companies…" 与 "Interest rates on 10 term deposits and 10 variable-rate mortgages… compute the coefficient of correlation."；分值估计来自考试情报 §六的描述统计板块。

四、典型例题精讲

例题 1 · 11 个观测的百分位与 IQR 4

样本：10, 20, 5, 30, 5, 50, 5, 10, 70, 5, 10。求第 25 与第 90 百分位，并简要解释。

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排序：5, 5, 5, 5, 10, 10, 10, 20, 30, 50, 70。

第 25 百分位：位置 \( 0.25\times(11+1) = 3 \to \) 第 3 个值 = 5。

第 90 百分位：位置 \( 0.90\times(11+1) = 10.8 \to \) 在第 10 与第 11 个值之间插值：\( 50 + 0.8\times(70-50) = 66 \)。

解释：约 25% 的观测值不超过 5；约 90% 的观测值不超过 66。

顺带：\( \bar{x}=20 \) 而中位数 = 10，说明数据右偏。

评分点：① 排序（1 分）｜② 位置公式（1 分）｜③ 第 90 百分位插值（1 分）｜④ 每个分位数一句解释（1 分）。

例题 2 · 方差、标准差与 z 分数 5

承上题，计算均值、样本方差与标准差；观测值 70 是否为 outlier？

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\( \sum x_i = 220 \)，\( n=11 \Rightarrow \bar{x} = 20 \)。

离差平方和：\( 100+0+225+100+225+900+225+100+2500+225+100 = 4700 \)。

\( s^2 = 4700/10 = 470 \)，\( s = \sqrt{470} = 21.68 \)。

\( z_{70} = (70-20)/21.68 = 2.31 \)。因为 \( |z|=2.31 > 2 \)，70 是 unusual；但 \( |z| < 3 \)，所以不一定是 outlier（严格判断需看箱线图是否超出 \( Q_3+1.5\,IQR \)）。

评分点：① 离差平方和（2 分）｜② 分母 \( n-1=10 \)（1 分）｜③ z 分数 + 依据 \( |z| \) 判断（2 分）。

例题 3 · 用 CV 比较离散度 3

甲基金：\( \bar{x}=68,\ s=12 \)；乙基金：\( \bar{x}=2500,\ s=380 \)。哪个更分散？

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\( CV_{甲} = 100\times 12/68 = 17.6\% \)；\( CV_{乙} = 100\times 380/2500 = 15.2\% \)。

甲基金的相对离散度更大。之所以不能用标准差直接比较，是因为两只基金的单位与量级不同，而 CV 无单位。

评分点：① 两个 CV 各（1 分）｜② 指出必须用 CV 的理由（1 分）。

五、易错点与考场技巧

易错点	正确做法
方差单位当成原单位	方差单位是原单位的平方；解释离散度用标准差。
CV 在均值接近 0 时比较	CV 只在均值 > 0 时有意义；均值近 0 时 CV 会爆炸。
用 \( r \) 判断非线性关系	\( r \) 只度量线性关系；\( r=0 \) 不代表无关系。
不排序直接数百分位	排序是第一步。
忘记 \( R^2 = r^2 \)	\( r=-0.71 \Rightarrow R^2 = 0.504 \)（约 50.4% 变异被解释）。

🎯

考场技巧

这道题每个数字都写中间步骤：均值 → 离差 → 平方和 → 除以 \( n-1 \) → 开方。评分标准里"写出过程"和"算对结果"是分开给分的。用 Excel 心算时注意 Excel 的 VAR.S/STDEV.S 用的就是 \( n-1 \)。

六、3 分钟自测

自测 1为什么样本方差的分母用 \( n-1 \) 而不是 \( n \)？

A为了让方差更大

B因为 \( \bar{x} \) 已经用掉一个自由度，除以 \( n \) 会低估 \( \sigma^2 \)；\( n-1 \) 使 \( s^2 \) 无偏

C因为 n 通常是奇数

D没有理由，只是约定

自测 2给出两变量散点图，问"能否推断因果"，正确回答是？

A可以，因为相关性强

B可以，只要样本量大

C不能。Correlation does not imply causation; there may be a lurking variable.

D取决于 r 是否大于 0.8

自测 3\( Q_1=6.82,\ Q_3=7.19 \)。\( IQR \) 是多少？

A0.37

B7.19

C14.01

D0.185

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