单样本假设检验 · 两类错误与功效
这是本课程分值最高的方法之一，也是"过程分"最容易拿的地方。这一周你不需要聪明，只需要照着模板写全七段——7 分里 5 分是写出来的。
一、这一周在讲什么
假设检验回答的问题是：数据提供的证据，够不够推翻某个"现状"？比如"某品牌饼干平均重量是否达标"、"狐狸犬平均寿命是否超过 10 年"。做法是：先假定现状成立（\( H_0 \)），再看数据在这种假定下有多"离谱"。
1.1 假设检验五步法
- 陈述 \( H_0 \) 与 \( H_1 \)；
- 指定决策规则（临界值）；
- 收集数据、计算检验统计量；
- 作出决策；
- 得出结论并行动。
1.2 \( H_0 \) 与 \( H_1 \)：方向由题干措辞决定
| 假设 | 角色 | 规则 |
|---|---|---|
| \( H_0 \)（原假设） | 基准 / 现状 | 必须含等号（\( =,\ \le,\ \ge \)）；取值来自经验、行业标准、目标或规格，绝不来自样本 |
| \( H_1 \)（备择假设） | 试图证实的"挑战者" | \( H_0 \) 的逻辑补集，不含等号 |
| 题干关键词 | 方向 |
|---|---|
| "more than / exceeded / increased / too easy" | 右尾 \( (>) \) |
| "less than / reduced / declined / too difficult" | 左尾 \( (<) \) |
| "different / changed / makes any difference" | 双尾 \( (\neq) \) |
1.3 两类错误与功效
| 概念 | 定义 | 概率 |
|---|---|---|
| Type I error（假阳性） | \( H_0 \) 为真却拒绝 | \( \alpha \)（显著性水平） |
| Type II error（假阴性） | \( H_0 \) 为假却未拒绝 | \( \beta \) |
| Power（功效） | 正确拒绝错误的 \( H_0 \) 的概率，又称 sensitivity | \( 1-\beta \) |
样本量固定时，减小 \( \alpha \) 必然增大 \( \beta \)；只有增大样本量才能同时降低两者。只能写 "fail to reject \( H_0 \)"，绝不能说 "accept \( H_0 \)"。
二、核心公式与图形
三、考点清单与预测题型
| 题型 | 出现概率 | 分值 | 拿分要点 |
|---|---|---|---|
| 计算 完整五步检验（临界值法） | 必考（主干题） | 5–7 | 写全七段；统计量写代入式；结论带情境。 |
| 论述 两类错误与情境后果 | 较高 | 3–4 | 三段：定义 → 结合情境的后果 → 降低 β 的手段。 |
| 概念 能否说"接受 \( H_0 \)" | 中等 | 2 | 不能；只能说证据不足。 |
| 概念 同时降低两类错误 | 中等 | 2 | 只能增大样本量。 |
依据：2017 S1 Sample 真题（日本狐狸犬寿命上尾检验、总统支持率下尾比例检验、小白菜重量双尾检验、作业分"太简单"上尾检验）；分值估计来自 考试情报 §六 的单样本检验板块（14–18 分）。
四、典型例题精讲
例题 1 · 日本狐狸犬寿命（上尾，1%） 7
一般狗的平均寿命为 10 年。随机抽取 7 只日本狐狸犬，寿命均值 \( \bar{x}=11.2 \) 年，样本标准差 \( s=2 \) 年。在 1% 显著性水平下检验狐狸犬平均寿命是否更长。
点击展开：完整七段解答与评分点
① 检验类型与方向：This is a test of one mean. It is an upper-tail test because the question asks whether the mean is longer than 10.
② 定义符号：Define \( \mu \) as the mean life length of Japanese Spitz.
③ 假设：\( H_0:\mu=10 \) versus \( H_1:\mu>10 \)。
④ 样本信息：\( n=7 \Rightarrow \df=6 \)；\( \alpha=0.01 \)；\( s=2 \)（\( \sigma \) 未知 → 用 t）。
⑤ 检验统计量：\( t_{calc} = \dfrac{11.2-10}{2/\sqrt{7}} = \dfrac{1.2}{0.7559} = 1.588 \)。
⑥ 决策规则：Reject \( H_0 \) if \( t_{calc} > t_{0.01,6} = 3.143 \)。
⑦ 决策与结论：Since \( 1.588 < 3.143 \), we do not reject \( H_0 \). There is insufficient evidence at the 1% level that the average life of Japanese Spitz exceeds 10 years.
p 值法：\( P(t_6>1.588)\approx 0.081 > 0.01 \)，结论一致。
评分点（官方每步 1 分，共 7 分）：① 检验类型 + 单双尾｜② 定义符号｜③ 假设（\( H_0 \) 含等号）｜④ n、df、α｜⑤ 统计量（须写代入式）｜⑥ 决策规则｜⑦ 决策 + 情境化结论。
例题 2 · 小白菜重量（双尾，5%） 5
温室中种 30 棵小白菜，平均重量 205 g，样本标准差 32 g；无温控时平均重量为 188 g。检验温控是否"造成任何差异"（\( \alpha=0.05 \)）。
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"makes any difference" 必须识别为双尾。
\( H_0:\mu=188 \) versus \( H_1:\mu\neq 188 \)。
\( t_{calc} = \dfrac{205-188}{32/\sqrt{30}} = \dfrac{17}{5.842} = 2.910 \)；\( \df=29 \)，临界值 \( \pm t_{0.025,29}=\pm 2.045 \)。
Since \( 2.910 > 2.045 \), reject \( H_0 \). 温控对平均重量造成了统计显著的差异。
p 值法：双尾 p ≈ 0.007 < 0.05，结论一致。
评分点：① 识别双尾（1 分）｜② df=29（1 分）｜③ 临界值 ±2.045（1 分）｜④ 双尾 p 值乘 2（1 分）｜⑤ 结论句（1 分）。
例题 3 · 两类错误（结合情境） 4
承例 1，描述该情境下的 Type I 与 Type II error 及其后果；什么能降低 \( \beta \)？
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Type I error：狐狸犬平均寿命其实不超过 10 年，但我们错误地宣称它更长（\( \alpha=0.01 \)）。后果：可能误导"该品种更长寿"的判断。
Type II error：狐狸犬平均寿命其实超过 10 年，但我们未能检出。后果：错过一个真实存在的差异。
降低 β 的手段：增大样本量 n（同时降低 α 与 β）；或（在允许的前提下）提高 α。提高检验功效也来自更大的效应量或更小的 σ。
评分点：① Type I 定义 + 情境后果（1.5 分）｜② Type II 定义 + 情境后果（1.5 分）｜③ 降低 β 的手段（1 分）。
五、易错点与考场技巧
| 易错点 | 正确做法 |
|---|---|
| 忘记"定义符号"这一步 | 这是独立 1 分，白丢可惜。 |
| 决策方向写反 | 右尾 "reject if \( t>t_\alpha \)"；左尾 "reject if \( t<-t_\alpha \)"；双尾两个方向。建议每题画一条数轴标拒绝域。 |
| 结论不带情境 | 必须写 "There is sufficient evidence at the 5% level that the average … exceeds …"。 |
| 把"接受 \( H_0 \)"写进答案 | 改成 "fail to reject \( H_0 \)"。 |
| 以为降低 α 也能降低 β | 固定 n 时二者此消彼长。 |
检验题的答案不是算式，而是七段完整的论述。参考 速查表 的模板，考试时按顺序写，过程分就稳了。7 分里只有 2 分是算出来的。
六、3 分钟自测
上一周：Week 6 · 抽样分布与置信区间｜下一周：Week 8 · p 值与双样本