均值差 CI · 配对 t 检验 · 两比例比较
这一周的全部题型都围绕"两个总体参数之差"展开：均值差、配对差值、比例差。公式看起来多，其实可以串成一条线——先把"差"当成一个未知参数，再套用你熟悉的推断逻辑。
一、这一周在讲什么
1.1 均值差的点估计与 CI
\( \mu_1-\mu_2 \) 的点估计就是 \( \bar{x}_1-\bar{x}_2 \)。若 CI 包含 0，则无显著差异——这句话本身就是 2 分。
1.2 配对样本：把 n 对化为 n 个差值
配对（paired）：同一分析单位在不同情形下观测两次（同一人的前后测、同一产品的两家实验室报价）。定义差值 \( d_i=X_{1,i}-X_{2,i} \)，然后检验差值均值是否为 0——本质就是单样本 t 检验。
若当独立样本处理，会错误假定 \( \mathrm{Cov}(X_1,X_2)=0 \)。实际上配对内的观测通常正相关；配对 t 检验利用了这种相关性，降低了总变异，因而更有功效（更窄的区间、更容易检出差异）。
1.3 两比例检验：合并还是不合并？
| 假设 | 是否合并 | 原因 |
|---|---|---|
| 检验"相等"（\( D_0=0 \)，即 \( \pi_1=\pi_2 \)） | 合并，用 \( p_c=\dfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2} \) | 在 \( H_0 \) 下两比例相同 |
| 检验"非零差异"（\( D_0\neq 0 \)） | 不合并 | 不对两比例相等做假设 |
| 比例差 CI | 永不合并 | CI 不基于 \( \pi_1=\pi_2 \) 的假设 |
二、核心公式与图形
三、考点清单与预测题型
| 题型 | 出现概率 | 分值 | 拿分要点 |
|---|---|---|---|
| 计算 均值差 CI（含 Welch df） | 必考 | 4 | 说清"若含 0 则无显著差异"。 |
| 案例 配对 t 检验 | 必考 | 5–6 | 必须写"为什么用配对"。 |
| 计算 两比例检验（合并） | 必考 | 4–5 | 算 \( p_c \)；条件检查；临界值。 |
| 计算 非零差异检验（不合并） | 中等 | 3–4 | \( D_0\neq 0 \) 时不合并，且分子要减 \( D_0 \)。 |
| 论述 配对为何比独立更有功效 | 较高 | 2 | 提到配对内正相关、降低总变异。 |
依据：2017 S1 真题（同一批 49 名学生作业分 vs 考试分配对 t、差值 95% CI）、Mount Buller 活跃推荐者两比例题、急诊回访非零差异题（检验降幅是否 > 0.1）；分值估计来自 考试情报 §六 的双样本板块（14–18 分）。
四、典型例题精讲
例题 1 · 配对 t 检验（2017 S1） 6
同一批 49 名学生，个人成绩差 \( D_i=X_{1,i}-X_{2,i} \)（作业分 − 考试分）的均值 \( \bar{d}=28 \)、方差 \( s_d^2=242 \)。检验两套平均分是否不同（\( \alpha=0.05 \)），并说明为什么用配对检验。
点击展开：解答与评分点
为什么用配对：两种分数来自同一批 49 名学生，观测是配对的、不是独立的。若当独立样本处理，会忽略学生个人能力在两次成绩中的正相关，高估标准误、降低检验功效。
\( s_d = \sqrt{242} = 15.556 \)。
\( H_0:\mu_d=0 \) versus \( H_1:\mu_d\neq 0 \)。
\( t_{calc} = \dfrac{28}{15.556/\sqrt{49}} = \dfrac{28}{2.2223} = 12.60 \)；\( \df=48 \)，临界值 \( \pm t_{0.025,48}=\pm 2.011 \)。
Since \( 12.60 > 2.011 \), reject \( H_0 \). 平均作业分与平均考试分存在显著差异。
评分点：① 说明为什么用配对检验（"same students"，2 分，本题的 Justify 得分点）｜② 识别检验对象是差值的均值（1 分）｜③ \( s_d/\sqrt{n} \)（1 分）｜④ 统计量计算（2 分）｜⑤ 决策与结论（1 分）。
例题 2 · 差值的 95% 置信区间 4
承上题，构造两套平均分之差的 95% 置信区间并解释。
点击展开：解答与评分点
\( \df=48 \)，\( t_{0.025,48}=2.011 \)。
区间 \( = \bar{d} \pm t_{\alpha/2}\dfrac{s_d}{\sqrt{n}} = 28 \pm 2.011(2.2223) = 28 \pm 4.469 = [23.53,\ 32.47] \)。
解释："We are 95% confident that the true mean difference between assignment and exam marks lies between 23.53 and 32.47 marks." 区间不含 0，与上一题的结论一致：两套分数存在显著差异。
评分点：① 用 \( t_{0.025,48} \)（1 分）｜② 标准误 \( s_d/\sqrt{n} \)（1 分）｜③ 区间数值（1 分）｜④ 指出"不含 0 ⇒ 差异显著"（1 分，CI 与检验等价性的送分点）。
例题 3 · 两比例检验（合并） 5
Mount Buller：今年 2048/2309 位访客是活跃推荐者（\( p_1=0.8870 \)）；去年 2014/2386（\( p_2=0.8441 \)）。在 1% 显著性水平下检验推荐比例是否上升。
点击展开：解答与评分点
\( p_c = \dfrac{2048+2014}{2309+2386} = \dfrac{4062}{4695} = 0.8652 \)。
\( H_0:\pi_1-\pi_2 \le 0 \) versus \( H_1:\pi_1-\pi_2 > 0 \)。
\( z_{calc} = \dfrac{0.8870-0.8441}{\sqrt{0.8652(1-0.8652)\left(\frac{1}{2309}+\frac{1}{2386}\right)}} = \dfrac{0.0429}{0.009972} = 4.303 \)。
临界值 \( z_{0.01}=2.326 \)；\( 4.303 > 2.326 \) → reject \( H_0 \)。p 值 \( =1-\text{NORM.S.DIST}(4.303,1)=0.0000084 < 0.01 \)。
结论：在 1% 显著性水平下，活跃推荐者比例显著上升。
评分点：① 两个样本比例（1 分）｜② \( p_c \)（1 分）｜③ 公式与代入（2 分）｜④ 临界值 2.326（1 分）。
例题 4 · 非零差异检验（不合并） 4
急诊回访：检验今年满意度比去年提升是否超过 0.1。\( p_1-p_2=0.07748 \)，\( D_0=0.1 \)，标准误 0.02955。检验 \( H_0:\pi_1-\pi_2 \le 0.1 \)。
点击展开：解答与评分点
因 \( D_0\neq 0 \)，不合并，分子要减 \( D_0 \)：
\( z_{calc} = \dfrac{0.07748-0.10}{0.02955} = \dfrac{-0.02252}{0.02955} = -0.762 \)。（题中给出 \( -0.060 \) 为临界值口径的示意，本例以分子减 \( D_0 \) 为主。）
取 \( \alpha=0.05 \) 右尾临界值 1.645：\( -0.762 < 1.645 \) → do not reject \( H_0 \)。无证据表明提升超过 0.1。
评分点：① 正确识别 \( D_0\neq 0 \) 且不合并（2 分，本题考点）｜② 分子减 \( D_0 \)（1 分）｜③ 结论（1 分）。
五、易错点与考场技巧
| 易错点 | 正确做法 |
|---|---|
| 两比例 CI 误用合并比例 | CI 永远不合并。 |
| 配对数据当独立样本做 | 题目出现"同一个…前后""同一批…两次""matched pairs"就必须用配对。 |
| 把 \( s_d \) 当成两个标准差之差 | \( s_d \) 是差值序列的标准差。 |
| 配对检验里 \( D_0 \) 符号与 \( H_1 \) 不一致 | 若 \( H_1:\mu_1-\mu_2>0 \)，分子是 \( \bar{d}-0 \)；若阈值非零则减该阈值。 |
| 均值差 CI 忘记说"含 0 则无差异" | 这句话是独立的分。 |
拿到双样本题，第一件事是读题干里的代词："the same / each / matched" → 配对；"two independent samples / two groups" → 独立。判断错了，后面的公式全错。
六、3 分钟自测
上一周：Week 8 · p 值与双样本｜下一周：Week 10 · 简单回归（上）——全卷最重的一题。