回归标准误 · 斜率检验 · CI vs 预测区间
这一周把回归从"描述"升级为"推断"：公式多，但逻辑与 Week 7–8 完全一致——又是那个"万能引擎"。如果你单样本 t 检验学懂了，这一周只是把标准误换成 \( s_{b_1} \)。
一、这一周在讲什么
Week 10 算出了 \( b_0,b_1 \)——但它们是随机变量，换一个样本就会变。Week 11 要回答："这些系数有多可靠？斜率真的不为 0 吗？" 这就把回归变成了推断。
1.1 用残差估计误差方差
1.2 检验斜率是否为 0 = 检验两变量是否相关
在双变量情形下，检验 \( \beta_1=0 \) 等价于检验"X 与 Y 不相关"。若 \( \beta_1=0 \)，模型退化为"常数 + 随机误差"，X 对 Y 没有解释力。
1.3 回归结果的标准报告格式（考试要照此写法）
估计方程 + 系数下方括号内标准误 + \( R^2 \) + n。例：
\( \widehat{Score}_i = 49.477 + 1.9641\,Study_i,\quad R^2=0.3941,\ n=10 \)
（括号内为相应系数的标准误）
本例：\( s_{b_0}=10.06 \)，\( s_{b_1}=0.861 \)。
二、核心公式与图形
三、考点清单与预测题型
| 题型 | 出现概率 | 分值 | 拿分要点 |
|---|---|---|---|
| 计算 斜率检验（单尾/双尾） | 必考 | 4–5 | \( \df=n-2 \)；先确认题目问的是哪一尾。 |
| 计算 CI vs PI | 必考 | 4–5 | PI 公式里那个 "1+"；解释差异。 |
| 报告 标准报告格式 + 标准误含义 | 中等 | 2 | 括号内是标准误；解释 \( R^2 \)。 |
| 论述 回归假设如何诊断 | 中等（Week 12） | 3–5 | 残差图：随机散布、同方差、正态、独立。 |
依据：课件标准题 \( s_e=14.00,\ s_{b_1}=0.861 \)，斜率检验 \( t_{calc}=2.281 > t_{0.05,8}=1.860 \)（拒绝）但 \( 2.281 < t_{0.025,8}=2.306 \)（双尾不拒绝）；分值估计来自 考试情报 §六。
四、典型例题精讲
例题 1 · 斜率检验（单尾 vs 双尾） 5
承 Week 10 的回归：\( b_1=1.9641,\ s_{b_1}=0.861 \)，\( \df=8 \)，\( \alpha=0.05 \)。检验 \( H_0:\beta_1\le 0 \) vs \( H_1:\beta_1>0 \)。若改问双尾会怎样？
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单尾：\( t_{calc}=1.9641/0.861=2.281 \)；\( t_{0.05,8}=1.860 \)。\( 2.281 > 1.860 \) → reject \( H_0 \)。存在显著的正相关关系。
改问双尾（\( H_1:\beta_1\neq 0 \)）：临界值变为 \( t_{0.025,8}=2.306 \)，而 \( 2.281 < 2.306 \) → 不拒绝。
结论：单尾与双尾的结论可能相反。考试第一件事就是确认题目问的是哪一尾，并写明。
评分点：① 统计量 \( t=b_1/s_{b_1} \)（1 分）｜② \( \df=n-2=8 \)（1 分）｜③ 单尾临界值 1.860 与决策（1.5 分）｜④ 双尾临界值 2.306 的对比说明（1.5 分）。
例题 2 · 条件均值 CI vs 预测区间 6
承上：\( s_e=14.00,\ \bar{x}=10.5,\ SS_{xx}=264.5,\ n=10 \)。当 \( x=4 \) 时，(a) 求条件均值的 95% 置信区间；(b) 求单个学生成绩的 95% 预测区间；(c) 解释两者为何不同。
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\( \hat{y} = 49.477 + 1.9641(4) = 57.333 \)；\( \df=8 \Rightarrow t_{0.025}=2.306 \)。
计算 \( \dfrac{1}{n}+\dfrac{(x-\bar{x})^2}{SS_{xx}} = \dfrac{1}{10}+\dfrac{(4-10.5)^2}{264.5} = 0.1 + \dfrac{42.25}{264.5} = 0.1+0.1597 = 0.2597 \)，\( \sqrt{0.2597}=0.5096 \)。
(a) 条件均值 95% CI：\( 57.333 \pm 2.306(14.00)(0.5096) = 57.333 \pm 16.46 = [40.87,\ 73.79] \)。
(b) 单个值 95% PI：\( \sqrt{1+0.2597}=1.1224 \)；\( 57.333 \pm 2.306(14.00)(1.1224) = 57.333 \pm 36.24 = [21.09,\ 93.57] \)。
(c) 为什么不同："The prediction interval is much wider than the confidence interval because it must account for the variability of an individual observation around its mean, not just the uncertainty in the mean itself."
评分点（本题 6 分）：① \( \hat{y} \)（1 分）｜② CI 公式正确（1 分）｜③ CI 数值（1 分）｜④ PI 公式里那个 "1+"（1 分）｜⑤ PI 数值（1 分）｜⑥ 解释两者差异（1 分）。
例题 3 · 标准报告格式 2
已知 \( s_{b_0}=10.06,\ s_{b_1}=0.861 \)。以标准格式报告回归结果，并解释括号内数字的含义。
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\( \widehat{Score}_i = 49.477 + 1.9641\,Study_i,\quad R^2=0.3941,\ n=10 \)
（10.06）（0.86）
括号内是相应系数的标准误：\( s_{b_0} \) 是截距估计的标准误，\( s_{b_1} \) 是斜率估计的标准误。它们度量系数估计的精确度，是构造 CI 与 t 检验的分母。
评分点：① 方程 + 括号标准误的格式（1 分）｜② 解释"标准误 = 估计量的标准差"（1 分）。
五、易错点与考场技巧
| 易错点 | 正确做法 |
|---|---|
| 用 t 表时 \( \df=n-1 \) | 回归是 \( \df=n-2 \)（估了 2 个参数）。 |
| 单尾与双尾混用 | 先确认题目问哪一尾——结论可能相反。 |
| 把 PI 写成和 CI 一样宽 | PI 公式里有 "1+"，必然更宽。 |
| \( \beta_1^0\neq0 \) 时分子不减 | 分子要减去那个非零值。 |
| 忘记 \( s_e \) 的分母是 \( n-2 \) | 因为估计了两个参数。 |
看到 "prediction interval for an individual" → 公式里加 "1+"；看到 "confidence interval for the mean" → 不加。这一个符号就是 2 分，而且解释差异的句子也是分。