Week 5 · 连续分布

连续分布 · 正态分布与查表

这一周是"概率 → 推断"的桥梁：正态分布既是描述工具，也是第 6 周以后所有推断的分布基础。如果你这一周不通，后面五周会一路卡。

考点密度 ★★★★☆ 预计分值 9–12 分建议用时 2 小时正反两向换算 · 必练

一、这一周在讲什么

连续随机变量与离散的关键区别：概率定义在区间上，等于概率密度曲线下方的面积。单个点的概率是 0——所以 \( P(X=x)=0 \)，而 \( P(X<x) \) 与 \( P(X\le x) \) 相等。这一点在连续分布下成立，离散分布下不成立。

1.1 PDF 与 CDF

PDF（概率密度函数） \( f(x) \) 给出曲线的"高度"，曲线下总面积恒为 1。CDF（累积分布函数） \( F(x)=P(X\le x) \) 给出"到 x 为止的累计面积"。两者都要会读图。

1.2 连续均匀分布

\( U(a,b) \) 的 PDF 是一个高度恒为 \( 1/(b-a) \) 的矩形。求概率就是求矩形面积：区间长度 ÷ 总长度。

1.3 正态分布：本课程的"标准形状"

由 \( \mu \)（中心）与 \( \sigma \)（离散度）两个参数完全决定；对称、单峰、钟形，定义域 \( -\infty<x<+\infty \)。经验法则（68–95–99.7）必须背下来。

二、核心公式与图形

连续均匀分布 \[ f(x)=\frac{1}{b-a}\ (a<x<b), \qquad P(c<X<d)=\frac{d-c}{b-a}, \qquad \mu=\frac{a+b}{2}, \qquad \sigma^2=\frac{(b-a)^2}{12} \]

矩形面积即概率。分母是总长度 \( b-a \)，不是 \( b-a+1 \)（那是离散均匀）。

正态 PDF 与标准化 \[ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}, \qquad z=\frac{x-\mu}{\sigma}, \qquad x=\mu+z\sigma \]

标准化让任何正态变量都能查同一张标准正态表。正向：x→z→面积；反向：概率→z→x。

上尾概率与经验法则 \[ P(X>x)=0.5-P(0<Z<z)\quad (z>0), \qquad P(Z>-1.43)=P(Z<1.43) \] \[ \pm1\sigma\approx 68\%, \qquad \pm2\sigma\approx 95\%, \qquad \pm3\sigma\approx 99.7\% \]

查表给的是"0 到 z 的面积"，不是"小于 z 的面积"。上尾要减 0.5。

图 1：上尾概率 = 0.5 − 查表值。弄反方向是 Week 5 最高频的失分点。

三、考点清单与预测题型

题型	出现概率	分值	拿分要点
计算正求概率（上尾/中间区间）	必考	3–4	四步：z 换算 → 查表 → 加减 → 情境结论。
计算反求分位数	必考	3–4	"低于第 p 百分位"→ z 为正；"高于"→ 注意方向。
计算由概率反求参数 μ	较高	2–3	由 \( x=\mu+z\sigma \) 反解。
计算均匀连续面积题	中等	2–3	\( (d-c)/(b-a) \)，注意分母是 \( b-a \)。
选择单点概率 = 0	较高	1	连续分布下 \( P(X=x)=0 \)。

依据：课件原题 "Service times are normal with \( \mu=28,\sigma=5 \). Find \( P(X<30) \)" → \( z=0.40 \)，\( P=0.6554 \)；反求题 "低于第 10 百分位须重考" → \( z=-1.28 \)，\( x=66.04 \)。分值估计来自考试情报 §六的正态板块（9–12 分）。

四、典型例题精讲

例题 1 · 正态三连问（2016 S2 改编） 6

毕业生起薪服从正态分布，均值 58（单位千元），方差 25。(a) 求 \( P(X>65) \)；(b) 求包含中间 50% 薪水的区间；(c) 抽 36 名毕业生，求 \( P(\bar{X}<57.5) \)。

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由方差 25 得 \( \sigma=5 \)。

(a) \( z=(65-58)/5=1.40 \)；\( P(X>65)=0.5-0.4192=0.0808 \)。即约 8.08% 的毕业生起薪超过 65（千元）。

(b) 中间 50% 意味着两侧各留 25%，需找 \( z_{0.25}=0.6745 \)：区间 \( =58\pm0.6745(5)=58\pm3.37=[54.63,\ 61.37) \)，即约 54,630～61,370（单位千元）。

(c) 关键：问的是"36 人的平均"，要用抽样分布的标准误 \( \sigma_{\bar{x}}=5/\sqrt{36}=0.8333 \)，不能直接用 σ。

\( z=(57.5-58)/0.8333=-0.60 \)；\( P(\bar{X}<57.5)=0.5-0.2257=0.2743 \)。

评分点与陷阱：① 方差 25 → 标准差 5（1 分）｜② 每题写出 z 换算（1 分）｜③ (c) 必须先算标准误（2 分）｜④ 结论用情境语言（1 分）。(a) 问"单个毕业生"用 σ；(c) 问"36 人的平均"用 σ/√n——这是个体分布与抽样分布的分界，也是 Week 6 的核心。

例题 2 · 反求分位数 3

某考试成绩 \( X\sim N(75,7^2) \)。学校规定低于第 90 百分位的成绩需复核，求分数线。

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"低于第 90 百分位"意味着曲线下 90% 的面积在分数线左侧，找 \( z=+1.28 \)：

\( x = \mu+z\sigma = 75+1.28(7) = 75+8.96 = 83.96 \approx 84 \)。

解释：约 90% 的学生成绩低于 84 分。

评分点：① z 方向正确（1 分）｜② 代入 \( x=\mu+z\sigma \)（1 分）｜③ 解释句（1 分）。

陷阱：第 90 百分位对应 \( +1.28 \)（不是 1.645，那是第 95 百分位）；写成 75−1.28(7) 会把方向搞反。

例题 3 · 由概率反求均值 3

某服务时间服从正态分布，\( \sigma=5 \) 分钟。要求 80% 的客户在 30 分钟内完成服务，平均服务时间应控制在多少分钟以内？

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要求 \( P(X<30)=0.80 \)，查表得 \( z=0.84 \)。

由 \( x=\mu+z\sigma \Rightarrow \mu = x-z\sigma = 30-0.84(5) = 30-4.2 = 25.8 \) 分钟。

评分点：① 由概率定位 \( z=0.84 \)（1 分）｜② 反解公式正确（1 分）｜③ 数值与单位（1 分）。

陷阱：把 \( z \) 代入方向弄反（写成 30+4.2）。

例题 4 · 连续均匀 2

某设备寿命在 [20, 40] 小时上均匀分布。求 \( P(25<X<35) \) 与 \( \sigma^2 \)。

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\( P(25<X<35) = (35-25)/(40-20) = 10/20 = 0.5 \)。

\( \mu=(20+40)/2=30 \)；\( \sigma^2 = (40-20)^2/12 = 400/12 = 33.33 \)。

评分点：① 面积比 \( (d-c)/(b-a) \)（1 分）｜② 方差公式分母 12（1 分）。

五、易错点与考场技巧

易错点	正确做法
把 \( P(X>x) \) 与 \( P(X\ge x) \) 当不同	连续分布下单点概率为 0，二者相等（离散分布下不同）。
查表值当成"小于 z 的面积"	表给的是"0 到 z 的面积"；小于要 +0.5，上尾要 −0.5。
z 为负时忘记对称性	\( P(Z>-1.43)=P(Z<1.43) \)。
反求分位数方向搞反	"低于第 90 百分位"对应 \( z=+1.28 \)。
(c) 类题直接用 σ 而非 σ/√n	问"平均"就用抽样分布的标准误。

🎯

考场技巧：四步法

每题固定四步：① z 换算 → ② 查表 → ③ 相加/相减 → ④ 情境结论。写全四步就是过程分。线下考用 Excel 数值表时要会线性插值（见基础补强 §查表与插值）。

六、3 分钟自测

自测 1\( X\sim N(28,5^2) \)。\( P(X>30) \) 约为？

A0.6554

B0.3446

C0.1554

D0.80

自测 2连续随机变量 \( X \) 在任意单点 \( x_0 \) 处的概率 \( P(X=x_0) \) 是？

A\( f(x_0) \)

D无法确定

自测 3某考试 \( N(75,7^2) \)，第 95 百分位数约为？

A75 + 1.645(7) = 86.52

B75 + 1.28(7) = 83.96

C75 − 1.645(7) = 63.49

D75 + 1.96(7) = 88.72

上一周：Week 4 · 离散分布｜下一周：Week 6 · 抽样分布与置信区间——分水岭来了。