概率 · 条件概率 · 列联表

Ch 5 的考题几乎固定为"一段文字情境 + 一张数字表"。你要做的就是把题目翻译成 \( P(\cdot) \) 记号，然后套三条法则。这一周的价值不在难，而在不能错。

一、这一周在讲什么

概率就是"给不确定性一个 0 到 1 之间的数字"。第一步是把事件写成记号：

• 补集（complement） \( A' \)：A 不发生。
• 并（union） \( A\cup B \)：A 或 B 至少发生一个——题干里的 "or" 就是它。
• 交（intersection） \( A\cap B \)：A 与 B 同时发生，也叫联合概率——题干里的 "and"。
• 互斥（mutually exclusive）：\( A\cap B=\varnothing \)，不可能同时发生。
• 穷尽（exhaustive）：两个事件合起来覆盖全部可能。互斥且穷尽 = binary events。

1.1 三种概率观

经验（empirical）：用观测频数估计（如历史退货率 13%）。古典（classical / a priori）：等可能结果计数（如掷骰子）。主观（subjective）：基于判断（如"明天下雨的概率"）。这三者是概念选择题的常客。

1.2 独立性：本课最爱考的定义

1.3 列联表三概率

二、核心公式与图形

三、考点清单与预测题型

依据：2016 S2 真题 Q1（三枚硬币的独立性与互斥性）、Q2（三台备用计算机）与课件列联表例题（如 MBA 申请者 n=360）；分值估计来自 考试情报 §六 的概率板块（7–10 分）。

四、典型例题精讲

例题 1 · 三枚硬币的独立性与互斥性（2016 S2） 6

一枚公平硬币连掷三次。设 A = "第一次是正面"，B = "三次中正面数为奇数"。(a) 求 \( P(A),P(B),P(B\mid A) \)；(b) A 与 B 是否独立；(c) A 与 B 是否互斥。

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样本空间（8 个等概率结果）：HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT。

\( A = \{HHH,HHT,HTH,HTT\} \Rightarrow P(A) = 4/8 = 0.50 \)。

\( B = \{HHH,HTT,THT,TTH\} \)（1 或 3 个正面）\( \Rightarrow P(B) = 4/8 = 0.50 \)。

\( A\cap B = \{HHH,HTT\} \Rightarrow P(A\cap B) = 2/8 = 0.25 \)，故 \( P(B\mid A) = 0.25/0.50 = 0.50 \)。

(b) 独立：\( P(B\mid A)=0.50=P(B) \)，等价地 \( P(A)P(B)=0.5\times0.5=0.25=P(A\cap B) \)。

(c) 不互斥：\( A\cap B=\{HHH,HTT\}\neq\varnothing \)，两事件可以同时发生。

评分点：① 列出样本空间（1 分）｜② 正确列出 A、B（1 分）｜③ 三个概率 + 条件概率公式（2 分）｜④ 独立性判定必须用数值比较并给结论句（1 分）｜⑤ 互斥判定指出交集非空（1 分）。

例题 2 · 条件概率（由三个概率求） 3

已知 \( P(U)=0.1350,\ P(D)=0.2905,\ P(U\cap D)=0.0532 \)。求 \( P(U\mid D) \) 并解释其含义。

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\( P(U\mid D) = \dfrac{P(U\cap D)}{P(D)} = \dfrac{0.0532}{0.2905} = 0.1831 \)。

解释：在"未完成高中学业"（D）的人群中，有 18.31% 处于失业状态（U）。

评分点：① 条件概率分式正确、分母是 \( P(D) \)（2 分）｜② 一句情境解释（1 分）。

陷阱：把分母写成 \( P(U) \) 或总体 n。条件的"条件"在分母。

例题 3 · 冗余系统（独立乘法） 2

某系统有三台独立运行的备用计算机，单台故障概率 0.03。求三台同时故障的概率。

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三台独立，故概率相乘：\( P = 0.03\times0.03\times0.03 = 0.03^3 = 0.000027 \)。

变体：若问"至少一台正常"，用补集 \( 1-0.03^3 = 0.999973 \)。

评分点：必须写出"独立 ⟹ 相乘"这句理由（1 分）；结果（1 分）。只写结果通常只能拿一半分。

五、易错点与考场技巧

六、3 分钟自测

上一周：Week 2 · 集中趋势与变异｜下一周：Week 4 · 离散分布