方法选择 · 符号统一 · 题型秒判
QM1 里最贵的技能不是算得快，而是认出这题该用什么方法。速查表 给你全部公式，这一页解决三件更靠前的事：符号先统一（别把 π 当成 p-value）、选法有依据（一行一个"题目长什么样 → 用什么"）、5 秒内秒判题型。
官方样卷的评分模板里，一道 7 分的单样本检验题有 5 分是"写出来的"（检验类型、符号定义、\( H_0/H_1 \)、决策规则、情境结论），只有 2 分是算出来的。选错方法，那 5 分连同后面的计算分一起丢。先花 30 秒把方法定死，再动笔算。
一、符号统一表：先统一语言，再做题
QM1 的符号里有三组"长得像但不是一回事"的家伙。把它们写在同一张表里，整门课就不会再串。
| 符号 | 准确含义 | 最容易混的地方 |
|---|---|---|
| \( \mu,\ \sigma,\ \sigma^2 \) | 总体均值、总体标准差、总体方差（参数） | 参数固定但未知，不会"随样本变化" |
| \( \bar{x},\ s,\ s^2 \) | 样本均值、样本标准差、样本方差（统计量） | \( s^2 \) 的分母是 \( n-1 \)；\( s \) 与原数据同单位 |
| \( \pi \) | 总体比例（population proportion） | 只出现在假设与条件检查里，是参数 |
| \( p=x/n \) | 样本比例（sample proportion） | 用样本算出来的数；也是二项分布里"成功概率"的记号 |
| p-value | 在 \( H_0 \) 成立的条件下，得到当前或更极端统计量的概率 | 它不是 \( \pi \)，也不是 \( p \)，更不是"\( H_0 \) 为真的概率" |
| \( z_\alpha \) | 标准正态中留出右尾面积 \( \alpha \) 的正临界值 | \( z_{0.05}=1.645 \)；双尾 5% 要用 \( z_{0.025}=1.960 \) |
| \( t_{\alpha,\nu} \) | t 分布中右尾面积 \( \alpha \)、自由度 \( \nu \) 的临界值 | 下标顺序：先尾面积、后自由度（\( t_{0.025,\,19}=2.093 \)） |
| \( \beta_0,\ \beta_1 \) | 总体截距、总体斜率（参数，未知） | 假设写在它们身上：\( H_0:\beta_1=0 \) |
| \( b_0,\ b_1 \) | 样本截距、样本斜率（估计值） | 回归输出 Estimate 列的数，是算出来的 |
| se | 回归残差标准误 \( s_e=\sqrt{\mathrm{SSE}/(n-2)} \) | 它描述"整条线的精度"，不是任何系数的标准误 |
| \( s_{b_0},\ s_{b_1} \) | 截距、斜率的标准误 | 系数检验（回归输出的 Std. Error 列）必须用它们 |
| SE（通用） | "当前这个统计量"的标准误 | 单样本是 \( s/\sqrt{n} \)，两样本是 Welch 式；别与观测标准差 \( s \) 混 |
| \( D_0 \) | 假设的差值/差（\( H_0 \) 中的非零基准） | 问"减少超过 10 个百分点"时 \( D_0=0.10 \) |
| \( h_0 \) | 回归预测中的 \( \frac{1}{n}+\frac{(x_0-\bar{x})^2}{SS_{xx}} \) | 小写 \( h \)，别与原假设 \( H_0 \) 混（写法只差大小写） |
二、正态记号陷阱：同一个 \( N \) 有两个含义
课件在不同章节用同一套 \( N(\cdot,\cdot) \) 记号，但第二个参数的含义变了。计算前必须先确认它是标准差还是方差。
| 出处 | 写法 | 第二个参数是 | 例子 |
|---|---|---|---|
| Week 5（连续分布） | \( X\sim N(\mu,\sigma) \) | 标准差 \( \sigma \) | \( N(290,15) \) 表示 \( \mu=290,\ \sigma=15 \) |
| Week 10–11（回归误差） | \( \varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2) \) | 方差 \( \sigma^2 \) | 误差均值为 0、方差为 \( \sigma^2 \) |
| 平时练习 | \( X\sim N(28,5^2) \) | 方差（写出平方） | \( \sigma=5 \)，\( \sigma^2=25 \) |
常用判断法：如果第二项写成 \( 5^2 \)、\( \sigma^2 \) 这种带平方的形式，就是方差；如果写成 \( N(290,15) \) 且题目随后让你算标准分数，就是标准差。两个场景的差别直接决定你要不要开方——真题里"给 variance 不给你 sd"是常见设置（如 2017 S1 的作业分 \( s^2=137 \)，要先开方得 \( s=11.705 \)）。
还有一个同字母两含义：密度公式里的 \( \pi \) 是圆周率，而比例公式里的 \( \pi \) 是总体比例。看语境，别看字母。
三、方法选择表（本页核心）
一行一个"题目长什么样 → 用什么方法 → 统计量 → 分布/自由度 → 常见陷阱"。做题前先在本表里"对号入座"，再翻 速查表 抄公式。
| 题目长什么样（线索） | 方法 | 统计量 | 分布 / 自由度 | 常见陷阱 |
|---|---|---|---|---|
| 一个数值样本，给 \( \bar{x} \) 与 \( s \)，问总体均值 | 单样本 t | \( t=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} \) | \( t_{n-1} \) | df 用 \( n-1 \)；小样本需总体近似正态、无严重异常值 |
| 同上，但题目明确给出 \( \sigma \) | 单样本 z | \( z=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \) | \( N(0,1) \) | σ 已知才用 z；别把样本 \( s \) 冒充已知的 \( \sigma \) |
| "x out of n"、"proportion"、百分数，问是否等于某比例 | 单比例 z（检验） | \( z=\dfrac{p-\pi_0}{\sqrt{\pi_0(1-\pi_0)/n}} \) | \( N(0,1) \)，须 \( n\pi_0\ge 10,\ n(1-\pi_0)\ge 10 \) | 分母用 \( \pi_0 \) 不用 \( p \)；\( 13\% \) 要代入 0.13 |
| 同一个比例，问参数可能在什么范围 | 单比例 z（区间） | \( p\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \) | \( N(0,1) \) | 区间用样本 \( p \)；与上一行的标准误不同，不可互换 |
| "two independent samples"、"group A and group B"、不同州/不同供应商 | 独立双样本 Welch t | \( t=\dfrac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-D_0}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} \) | \( t_{\nu} \)，\( \nu \) 用 Welch 公式并向下取整 | 两组样本量相同 ≠ 配对；QM1 不假定方差相等，别擅自合并 |
| "the same n subjects"、"before and after"、"matched pairs"、同一项目两份报价 | 配对 t | \( t=\dfrac{\bar{d}-D_0}{s_d/\sqrt{n}} \) | \( t_{n-1} \)（n 是"对"数） | 先把两列变成一列差值 \( d_i \)；差值的正负含义要在开头声明 |
| 两组独立二分类，问比例是否相等（\( D_0=0 \)） | 双比例 z（合并） | \( z=\dfrac{p_1-p_2}{\sqrt{p_c(1-p_c)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}} \) | \( N(0,1) \)，各组成功/失败均 ≥ 10 | 相等检验必须合并 \( p_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2} \)，不能平均两个比例 |
| 两比例差的区间，或问差是否等于某个非零值 | 双比例 z（未合并） | \( z=\dfrac{(p_1-p_2)-D_0}{SE_u} \)，\( SE_u=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}} \) | \( N(0,1) \) | 永不合并；"减少超过 0.10" 要在分子减 0.10 |
| "relationship between X and Y"、散点图、回归输出表 | 简单 OLS 回归 | \( b_1=\dfrac{SS_{xy}}{SS_{xx}},\ b_0=\bar{y}-b_1\bar{x} \) | 系数检验 \( t_{n-2} \) | df 是 \( n-2 \)；OLS 最小化的是竖直残差平方和 |
| 问"斜率/截距是否等于某值" | 系数 t 检验 | \( t=\dfrac{b_j-\beta_j^0}{s_{b_j}} \) | \( t_{n-2} \) | 分母用 \( s_{b_j} \) 而非 \( s_e \)；非零基准要在分子减 \( \beta_j^0 \) |
| 给定 \( x_0 \) 估计平均结果（"average score/sales"） | 条件均值 CI | \( \hat{y}_0\pm t_{\alpha/2,n-2}\,s_e\sqrt{h_0} \) | \( t_{n-2} \) | "平均"才用；区间在 \( x=\bar{x} \) 处最窄 |
| 给定 \( x_0 \) 预测一个新个体（"a student / a new store"） | 个体 PI | \( \hat{y}_0\pm t_{\alpha/2,n-2}\,s_e\sqrt{1+h_0} \) | \( t_{n-2} \) | 根号里多一个 1，必然比 CI 宽 |
| 要求构造总体方差的区间（冷门） | χ² 区间（保险） | \( \dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}}\le\sigma^2\le\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}} \) | \( \chi^2_{n-1} \) | 现行课件未讲 χ²；2016 S2 练习题考过，作为 10 分钟保险 |
对采用同一 t 方法的均值推断：显著性水平 \( \alpha \) 的双侧检验，等价于检查对应的 \( (1-\alpha) \) 置信区间是否包含假设值 \( \mu_0 \)——不包含就拒绝。单侧检验不能直接套这个对应关系。区间回答"参数可能在什么范围"，检验回答"数据是否足以反对某个参数假设"。
四、方法选择决策树
把上面那张表压缩成三个问题：参数是什么？几个样本/几个总体？目标是检验还是区间、是平均还是个体？
五、6 类题型 5 秒秒判
考场上最高效的技能：看到题干关键词，5 秒内锁定方法，然后只做三件事。下表按"出现频率 × 分值"排序。
| # | 题干关键词（5 秒触发） | 立刻锁定 | 接下来只做 3 件事 |
|---|---|---|---|
| 1 | "a simple random sample of n", 给 \( \bar{x} \) 与 \( s \), "test whether the mean …" | 单样本 t | ① 写 \( H_0/H_1 \)（等号在 \( H_0 \)）② \( \mathrm{df}=n-1 \) ③ \( t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} \) + 情境结论 |
| 2 | "x out of n"、"proportion"、"pass rate / click rate / approval rate" | 比例 z | ① 检查 \( n\pi_0\ge 10,\ n(1-\pi_0)\ge 10 \) ② 检验分母用 \( \pi_0 \)，区间用 \( p \) ③ 定方向（多/少） |
| 3 | "two independent samples"、"group A and group B"、不同州/供应商/团队 | Welch t | ① 声明方差未知且假定不等（Case 3）② 手算 Welch df 并向下取整 ③ 定差的顺序（谁减谁） |
| 4 | "the same n subjects"、"before and after"、"matched pairs"、"each case measured twice" | 配对 t | ① 先算差值列 \( d_i \)，n = 对数 ② \( \mathrm{df}=n-1 \) ③ 说明"为什么不能用独立样本" |
| 5 | 两组独立二分类，问"是否不同 / 是否提高" | 双比例 z | ① 判断相等（合并 \( p_c \)）还是非零差/区间（未合并）② 检查各组成功失败计数 ③ 结论写百分点 |
| 6 | "relationship between X and Y"、散点图、回归输出表、"predict" | 简单回归 | ① 关系 → 系数 t，\( \mathrm{df}=n-2 \) ② 问"平均"用 CI，问"一个个体"用 PI ③ \( R^2 \) 写成百分比解释 |
六、三种最容易"看着像但其实不同"的情形
| 情形 | 看起来像什么 | 实际该怎么做 |
|---|---|---|
| 个体 vs 样本均值 | 都是"求超过某个阈值的概率" | 问一个顾客/一个包装超阈值 → 用个体分布（\( \sigma \)）；问 36 名顾客的平均超阈值 → 用抽样分布，标准误 \( \sigma/\sqrt{n} \)。两个概率会差很多 |
| 配对 vs 独立 | 都是"两列数据比均值" | 同一人前后、同一项目两份报价 → 配对（先做差值，n = 对数）；不同个体分成两组 → 独立（Welch）。两组样本量相同不代表配对 |
| 回归里的"关系" vs "预测" | 都是"给定 x 求 y" | 研究 X 与 Y 的线性关系 → 用回归系数 t 检验；给定 \( x_0 \) → 问平均用 CI，问一个新个体用 PI |
为什么要分清 t 分布与正态
总体标准差 \( \sigma \) 未知时用样本 \( s \) 估计，会额外引入不确定性，因此统计量的分布比正态尾部更厚——小自由度时尤其明显。这就是"σ 未知用 t、已知用 z"的由来。
区间宽度：CI 比 PI 窄，而且两端更宽
下面用课件 10 名学生的回归（\( \bar{x}=10.5,\ s_e=14.00,\ SS_{xx}=264.5,\ n=10 \)）画两种区间。同一 \( x_0=4 \) 处：点预测 \( 57.333 \) 分，条件均值 95% CI ≈ (40.88, 73.79)，个体 95% PI ≈ (21.09, 93.57)。
PI 更宽不是估计不准，而是因为它的目标不同：CI 只反映条件均值本身的不确定性，PI 还要额外容纳单个观测围绕其条件均值的随机波动——这个波动装不进模型，只能靠公式里那个多出来的 "1"。所以即使样本量再大，PI 也不会缩到 0。
七、自检顺序清单（每次动笔前走一遍）
把下面五句话写在草稿纸顶端，按顺序填，填完再算。它能把"选错方法"和"用错分母"这两类失分直接掐掉。
| 次序 | 问自己 | 写下来 |
|---|---|---|
| 1 | 参数是什么？ | 均值 / 比例 / 差值 / 系数 / 条件均值——写总体符号（\( \mu,\pi,\mu_1-\mu_2,\beta_1 \)），不是样本符号 |
| 2 | 设计是什么？ | 一个样本 / 两个独立样本 / 配对 / 成对变量回归 |
| 3 | 方向是什么？ | 双尾还是单尾？如果两组比较，差的顺序是谁减谁？ |
| 4 | 条件满足吗？ | 随机性、独立性、正态或大样本条件（\( n\ge 30 \) / \( n\pi_0\ge 10 \)）、回归假设 |
| 5 | 尺度用哪个？ | 分子是 \( \sigma \) 还是 \( s \)？分母是 \( s/\sqrt{n} \) 还是 Welch 式？df 是多少？单位是什么？ |
只看题干、不代数字，用 30 秒写出"对象、方法、条件、方向"四样东西。连续 20 题都写对，方法选择这一关才算过——之后你才有资格谈"算得快"。
上场只做三件事：看清题、写全步、别算术错。