自测与真题演练

(a) 洗衣的机会成本 = 洗衣耗时 ÷ 做饭耗时：

Sheldon：\(4/2=2\) 顿饭；Leonard：\(3/0.5=6\) 顿饭。

(b) 卖方（Sheldon）要的最低 = 自己洗的机会成本 2 顿饭；买方（Leonard）愿付的最高 = 自产的机会成本 6 顿饭 ⟹ 价格落在 \((2,\ 6)\) 顿饭之间。

(c) 总机会成本 = 放弃的薪水 150,000 + 注册费 1,000 + 办公室利息损失 \(5\%\times 50{,}000=2{,}500\) = 153,500。

办公室本金 50,000 可全额收回 ⟹ 不计入机会成本（这是陷阱）；但其利息要算。

评分点：① 机会成本必须写出“耗时之比”的算式，不能只给结论（2 分）；② 指出价格区间落在两个机会成本之间（1 分）；③ 分清绝对优势与比较优势（1 分）；④ 办公室本金不计、利息计入（2 分）。常见失分：把不可退的注册费漏掉，或把可回收的 50,000 算进去。

(a) \(24-2P=4P\Rightarrow 24=6P\Rightarrow P^*=4,\ Q^*=4\times4=16\)。

(b) \(24-2P=8P\Rightarrow 24=10P\Rightarrow P^*=2.4,\ Q^*=8\times2.4=19.2\)。供给变陡 ⟹ 价格下降、数量上升。

(c) \(\varepsilon_D=\frac{dQ}{dP}\cdot\frac{P}{Q}=-2\times\frac{4}{16}=-0.5\)，\(|\varepsilon_D|=0.5<1\) ⟹ 无弹性 ⟹ 提价会使总收益上升（因为数量下降幅度小于价格上升幅度）。

(d) 技术进步 ⟹ 供给 ↑；收入上升（正常品）⟹ 需求 ↑。两个同向冲击 ⟹ 数量必然上升，价格方向不定。

评分点：① 写出联立等式再解（2 分）；② 旋转轴要说明（本题绕原点，供给实际右移）（2 分）；③ 弹性必须带公式、代入、结论三步（2 分）；④ 双冲击必须明确写出“哪个变量方向不定”（2 分）。

(a) \(240-4P=2P\Rightarrow 240=6P\Rightarrow P^*=40,\ Q^*=2\times40=80\)。

(b) \(\varepsilon_D=-4\times\frac{40}{80}=-2\)，\(|\varepsilon_D|=2>1\) ⟹ 富有弹性（elastic）。

(c) 对卖方课税 18 ⟹ 供给变为 \(Q_S=2(P-18)=2P-36\)。
\(240-4P=2P-36\Rightarrow 276=6P\Rightarrow P_D=46\)；\(P_S=46-18=28\)；\(Q=240-4(46)=56\)。
税收收入 \(=18\times56=1{,}008\)；\(DWL=\frac{1}{2}\times18\times(80-56)=216\)。

(d) 买方承担 \(=\frac{P_D-P^*}{t}=\frac{46-40}{18}=\frac{1}{3}\)；卖方承担 \(=\frac{P^*-P_S}{t}=\frac{40-28}{18}=\frac{2}{3}\)。
用弹性解释：\(|\varepsilon_D|=2>\varepsilon_S=2\times\frac{40}{80}=1\)，需求更富有弹性、供给相对缺乏弹性，税负更多落在弹性较小的一方（生产者） ⟹ 卖方承担 2/3。

评分点：(a) 写出联立等式（1 分）+ \(P^*\)（1 分）+ \(Q^*\)（1 分）；(b) 公式 1 分、代入 1 分、结论 1 分；(c) 新供给函数 1 分、\(P_D\) 1 分、\(P_S\) 1 分、\(Q\) 1 分、税收收入 1 分、DWL 1 分；(d) 两个份额 2 分 + 弹性方向解释 1 分。

(a) \(10-P=3P\Rightarrow P^*=2.5,\ Q^*=7.5\)。
需求截距 \(=10\)，供给截距 \(=0\)。
\(CS=\frac{1}{2}(10-2.5)(7.5)=28.125\)；\(PS=\frac{1}{2}(2.5-0)(7.5)=9.375\)；\(TS=37.5\)。

(b) 对卖方征税 2 ⟹ \(Q_S=3(P-2)\)。\(10-P=3P-6\Rightarrow 16=4P\Rightarrow P_D=4,\ P_S=2,\ Q=6\)。
税收收入 \(=2\times6=12\)；\(DWL=\frac{1}{2}\times2\times(7.5-6)=1.5\)。

评分点：(a) 均衡（1 分）+ 两个截距（1 分）+ CS、PS、TS 各 1 分（3 分），并写成“½×底×高”的式子（1 分）；(b) 新均衡 2 分 + 税收收入 1 分 + DWL 1 分。注意 DWL 的三角形夹在需求与（原）供给之间，跨 \(Q^{**}\) 到 \(Q^*\)。

(a) \(FC=50,\ VC=0.5q^2,\ MC=q,\ ATC=50/q+0.5q\)。

(b) \(\frac{dATC}{dq}=-\frac{50}{q^2}+0.5=0\Rightarrow q^2=100\Rightarrow q=10\)，\(ATC(10)=10=MC(10)\) ✓。

(c) 企业供给 \(P=MC=q\)（AVC=0.5q，最小值趋于 0，无停产区间）⟹ 市场供给 \(Q_S=9q=9P\)。
\(9P=120-P\Rightarrow P^*=12,\ Q^*=108\)，每家 \(q=108/9=12\)。

(d) \(TR=12\times12=144\)，\(TC=50+0.5(144)=122\)，\(\pi=+22>0\) ⟹ 有进入激励。

(e) 长期 \(P=\min ATC=10\) ⟹ \(Q_D=120-10=110\)，每家 \(q=10\) ⟹ 企业数 \(N=110/10=11\)（由 9 家增至 11 家，与 (d) 一致 ✓）。

评分点：(a) 四个函数各 0.75 分；(b) 求导置零 1 分 + 验证 1 分；(c) 供给 1 分、均衡 2 分；(d) 利润 1 分 + 进出判断 1 分；(e) \(P=10\) 1 分 + N=11 1 分。不要把 (d) 只写成算数——必须写出“正利润 ⟹ 进入”的结论。

(a) \(P=48-2Q\)；\(TR=48Q-2Q^2\Rightarrow MR=48-4Q\)。

(b) \(MR=MC\)：\(48-4Q=2Q\Rightarrow Q_M=8\)；\(P_M=48-16=32\)；\(\pi=256-(10+64)=182\)。

(c) \(P=MC\)：\(48-2Q=2Q\Rightarrow Q_C=12,\ P_C=24\)。

(d)

\(DWL=\frac{1}{2}(P_M-MC(Q_M))(Q_C-Q_M)=\frac{1}{2}(32-16)(12-8)=32\)。

分配结论（必写）：垄断造成的 80 消费者损失中，有 48 只是从消费者转移给垄断者（转移支付，不是社会损失），真正的社会损失是 32 的 DWL。

(e) 可行，不需要补贴。因为 \(ATC(12)=10/12+12=12.83<P=24\)，企业在 \(P=MC\) 的产量上仍然盈利（\(\pi=24\times12-(10+144)=134>0\)）。
加分句：只有对自然垄断（规模经济覆盖整个需求区间、\(P=MC<\min ATC\)）才需要政府补贴，而本题的 \(\min ATC\) 出现在 \(Q\approx3.16\)，远低于需求区间，因此不属于自然垄断。

评分点：(a) 反需求 2 分 + MR 1 分；(b) 四个待求量各 1 分；(c) 2+1 分；(d) 必须把“转移”与“净损失”分开说（这是唯一容易丢分的地方）；(e) 需要算 ATC 才能证明可行。

(a) 合并需求：\(Q_1=\frac{60-P}{3}\)（P≤60）、\(Q_2=\frac{60-2P}{3}\)（P≤30），合计 \(Q_T=40-P\Rightarrow P=40-Q\)。
\(MR=40-2Q=MC=12\Rightarrow Q=14,\ P=26\)；\(\pi=(26-12)\times14=196\)。

(b) 反需求：\(P_1=60-3Q_1\)、\(P_2=30-1.5Q_2\)。
市场 1：\(60-6Q_1=12\Rightarrow Q_1=8,\ P_1=36\)；市场 2：\(30-3Q_2=12\Rightarrow Q_2=6,\ P_2=21\)。
\(\pi=24\times8+9\times6=192+54=246>196\)（多赚 50）。

(c)

市场 1 需求更缺乏弹性（|ε| 更小），因此被收取更高价格与加成率；统一定价的加成率落在两者之间。规律：\(\frac{P-MC}{P}=\frac{1}{|\varepsilon_D|}\)。

评分点：① 两个市场必须分别解 \(MR=MC\)（不能先把需求加总，加总只用于无歧视对比）；② 每步的 \(MR\) 必须写出来；③ 弹性要带单位确认；④ 必须写出“逆弹性法则”并解释方向。

Part A (a) Alpha 视角：Beta 选 High 时 Alpha 选 Low 得 28>20；Beta 选 Low 时选 Low 得 12>6 ⟹ Low 是严格占优策略；由对称性 Beta 也是 Low ⟹ 唯一 NE=\((Low,Low)=(12,12)\)。
而 \((High,High)=(20,20)\) 对双方都更好，却不是均衡（任一方单独改 Low 可把利润从 20 提到 28）⟹ 个体理性导致集体次优，正是囚徒困境，也解释了卡特尔为何不稳定。

(b) Cournot：\(\pi_A=(100-q_A-q_B)q_A-10q_A\)。\(\frac{\partial\pi_A}{\partial q_A}=90-2q_A-q_B=0\Rightarrow q_A=\frac{90-q_B}{2}\)；对称 \(q_B=\frac{90-q_A}{2}\)。
联立：\(q_A=q_B=30,\ Q=60,\ P=100-60=40,\ \pi_i=(40-10)\times30=900\)。

(c) 卡特尔：\(MR=100-2Q=MC=10\Rightarrow Q=45,\ P=55\)，行业总利润 \(=(55-10)\times45=2{,}025\)。
不稳定的原因：在合谋结果上，任一家只要偷偷多产一点，价格几乎不变而自己多卖 ⟹ 单边偏离有利可图 ⟹ 卡特尔结果不是纳什均衡，需要外部强制（配额、监督、惩罚机制）才可能维持。

Part B (a) 社会最优（萨缪尔森条件，需求曲线垂直相加）：
\(\sum_i MB_i=MC:\ (60-3Q)+(60-3Q)=24\Rightarrow 120-6Q=24\Rightarrow Q^*=16\)。

(b) 私人自愿提供：个人 \(i\) 只把自己的收益与自己的贡献比较：\(\max_{q_i}\big[TB_i(q_i+q_{-i})-24q_i\big]\)，一阶条件 \(60-3Q-24=0\Rightarrow Q_V=12\)。
对称解 \(q_1=q_2=6\)，总供给 \(Q_V=12<Q^*=16\)。

(c) 差异与政策：差额 \(16-12=4\) 个单位的供给不足（社会净损失 DWL=48）。原因是公共品非竞争性 + 非排他性：每个人只按自己的边际收益决策，忽略了自己的投入也提高了对方的收益（正外部性在公共品上的镜像）⟹ 普遍搭便车（free-riding） ⟹ 私人供给系统性低于社会最优。
政策：由政府用税收融资把供给提高到 \(Q^*=16\)；或按“外部边际收益”给予庇古补贴（在 \(Q^*\) 处 \(MB_i=60-48=12\)，即每人每单位补贴 12）；林达尔定价（Lindahl pricing）理论上可按各自边际收益分担成本，但人们会低报偏好。

评分点：Part A：(a) 占优策略 3 分、NE 1 分、囚徒困境 2 分；(b) 利润函数 1 分、反应函数 2 分、\(q=30\) 1 分、\(P=40\) 1 分、\(\pi=900\) 1 分；(c) 卡特尔三量 2 分 + 一句话解释 1 分。Part B：(a) 必须写出“垂直相加 / ΣMB=MC”1 分 + 答案 2 分；(b) 一阶条件 2 分 + 对称解 2 分；(c) 必须出现“搭便车 / 非竞争非排他”2 分 + 政策 1 分。

(a) 市场（私人）均衡：\(PMB=PMC\Rightarrow 100-Q=2Q\Rightarrow Q^*=33.3\)。

(b) 社会最优：\(SMB=SMC\Rightarrow 100-Q=2Q+30\Rightarrow 70=3Q\Rightarrow Q^{**}=23.3\)。

(c) 最优庇古税 = 社会最优产量处的边际外部成本 \(MEC=SMC-PMC=30\)（为常数）。
验证：课税后企业面对 \(PMC+t=2Q+30\)，令其等于 \(SMB\)：\(100-Q=2Q+30\Rightarrow Q=23.3=Q^{**}\) ✓。
\(DWL=\frac{1}{2}\times30\times(33.3-23.3)=150\)。

控制手段对比（加分）：庇古税确定“单位激励”，但不确定“量”；直接管制（配额、技术标准）能确定“量”，但不能确定“成本”。cap-and-trade 把总量设在 \(Q^{**}\) 对应水平，兼顾二者。

评分点：① 是否把它写成 \(SMB=100-Q\) 而不是 \(100-Q\) 当作成本（1 分）；② 是否算出并对比 \(Q^*\) 与 \(Q^{**}\)（4 分）；③ 是否指出“税 = 最优产量处的 MEC”，而不是“总外部成本 ÷ 产量”（3 分）；④ DWL 是否给出过程（2 分）。