博弈论：占优策略、纳什均衡与序贯博弈
博弈论是“性价比极高”的一章：题型固定、计算简单、图都不用画。学会三步法（占优 → 迭代删除 → 最优回应/逐格检验），你就能在 3 分钟内找齐任意 2×2 矩阵的全部纯策略纳什均衡。预计 10–14 分。
一、这一周在讲什么
1.1 博弈的四个要素与两种形式
要素：玩家（players）、规则（rules）、结果（outcomes）、支付（payoffs）。同时博弈（simultaneous game）用支付矩阵（标准式）；序贯博弈（sequential game）用博弈树（扩展式）。
行动（action）≠ 策略（strategy）：行动是“某个时点的单次决策”；策略是“针对每一种情形的完整决策集”。纯策略确定地选择；混合策略以概率选择。
1.2 占优策略与纳什均衡
- 严格占优策略（strictly dominant strategy）：无论对手做什么，支付都严格高于其他所有策略。理性玩家一定选它。
- 弱占优策略：在对手某些选择下无差异、其他情况下更好。
- 纳什均衡（Nash equilibrium）：策略组合使得任何人在给定他人策略下都无动机单方面改变行动。
求 NE 的三种方法：逐格检验、迭代删除严格被占优策略、最优回应分析（两边都被高亮的最优回应格即为 NE）。严格被占优策略永远不可能进入 NE。
1.3 序贯博弈与 SPNE
SPNE（子博弈完美纳什均衡）是在每一个子博弈（包括不在均衡路径上的子博弈）都是纳什均衡的策略组合；用逆向归纳（backward induction）求解，可以排除不可信威胁（non-credible threat）。若后行动者无法观察先行动者的选择（博弈树中用虚线连接节点）⟹ 这塌缩为同时博弈。
经典例（Tutorial 9/11 风格的进入博弈）：潜在进入者（E）选择进入/不进入；在位者（I）若面对进入则选打击（Fight）或容纳（Accommodate）。打击给 I 得 5、容纳给 I 得 12 ⟹ I 一定会容纳（因为 12>5）。“我会打击你”是不可信威胁。E 预见到这一点，于是选择进入（得 8 > 0）。SPNE =（E：进入；I：若进入则容纳），均衡支付 (8, 12)。
二、核心公式与图形
三、考点清单与预测题型
| 题型 | 出现概率 | 分值估计 | 拿分要点 |
|---|---|---|---|
| 计算 求全部纯策略纳什均衡 | 必考 | 4–6 | 逐格检验单方面偏离；题目问 equilibria 时要列全部 |
| 计算 迭代删除严格被占优策略 | 高频 | 3–4 | 起点与顺序不影响结果 |
| 计算 序贯博弈与 SPNE（逆向归纳） | 高频 | 5–6 | 写出完整策略，不只是路径；点出“不可信威胁” |
| 选择 占优策略 / 囚徒困境判别 | 高频 | 3 | “个体理性 ⟹ 集体次优”就是囚徒困境 |
| 论述 没有占优策略是否就没有 NE | 中 | 2–3 | 错，NE 可以存在（如网球博弈 {L,C}） |
依据：L19–L20 Key Points 明确把博弈论列为应用主线；Tutorial 11 与 2024 官方样卷 MCQ 均出现博弈题；本讲约 10–14 分，且与 W12 的寡头题强绑定。
四、典型例题精讲
例 1（求全部纳什均衡，支付矩阵法）
题目：支付矩阵（行=A，列=B）：(上,左)=(4,3)、(上,右)=(2,5)、(下,左)=(5,1)、(下,右)=(1,4)。求所有纯策略纳什均衡。
解（逐格检验）：
- (上,左)=(4,3)：A 改为下得 5>4 ⟹ 偏离 ⟹ 非 NE。
- (上,右)=(2,5)：B 改为左得 3<5；A 改为下得 1<2 ⟹ 双方都不愿偏离 ⟹ 是 NE ✓。
- (下,左)=(5,1)：A 改为上得 4<5；B 改为右得 4>1 ⟹ 偏离 ⟹ 非 NE。
- (下,右)=(1,4)：A 改为上得 2>1 ⟹ 偏离 ⟹ 非 NE。
唯一纯策略 NE =（上, 右）。
评分点：① 每个格子都要检验“单方面偏离”；② 必须给出被检验的理由（谁改、改成什么、支付如何变）；③ 结论句要写 “The unique pure-strategy Nash equilibrium is (Up, Right)”。
例 2（占优策略与囚徒困境，Core 例题）
题目：两家航空公司同时选高价（High）或低价（Low），利润（A, B）为：(High,High)=(10,10)、(High,Low)=(3,14)、(Low,High)=(14,3)、(Low,Low)=(6,6)。(a) 找占优策略；(b) 求纳什均衡；(c) 是否是囚徒困境？
解：
- A 的视角：若 B 选 High，A 选 Low 得 14>10；若 B 选 Low，A 选 Low 得 6>3 ⟹ “低价”是 A 的严格占优策略；由对称性，B 也是。
- 双方都打占优策略 ⟹ 唯一 NE = (Low, Low)，支付 (6,6)。
- (High, High)=(10,10) 对双方都更好，但它不是均衡——任一方单独改低价都能把利润从 10 提到 14 ⟹ 是囚徒困境，也解释了卡特尔为什么天然不稳定。
评分点：① 必须用“给定对方的选择，我的最优反应”来定义 NE；② 必须写出“偏离 (High,High) 的收益（14）高于合作的收益（10）”；③ 必须点出“囚徒困境 ⟹ 卡特尔不稳定”的现实含义。
例 3（序贯博弈与 SPNE，进入博弈）
题目：进入者 E 选择进入/不进入。不进入：E 得 0、在位者 I 得 20。进入后 I 选打击或容纳：打击 (E,I)=(−5,5)；容纳 (8,12)。求 SPNE。
解（逆向归纳）：
- 最后节点：I 打击得 5、容纳得 12 ⟹ 容纳更好（无条件）。
- 倒推 E：知道一旦进入就会被容纳。进入得 8、不进入得 0 ⟹ 进入。
- SPNE =（E：进入；I：若 E 进入则容纳），均衡路径结果 (8,12)。
加分讨论：若 I 能预先投建过剩产能，使“打击”的收益变成 15>12，威胁就变得可信，E 会改为不进入——这就是“承诺/沉没投资改变博弈结构”。
评分点：SPNE 必须写出“完整策略”（若 A 选 X，B 做什么；若 A 选 Y，B 又做什么），不能只写路径。
五、易错点与考场技巧
| 易错点 | 正确做法 |
|---|---|
| 支付矩阵读反（行玩家支付写在后面） | 行玩家的支付写在前面。这是最致命的错误 |
| 逐格检验时让两个玩家同时改策略 | 只能“单方面偏离” |
| 有多个 NE 时只写一个 | 题目问 “the Nash equilibrium/equilibria” 时通常要求全部 |
| SPNE 只给路径不给策略 | 必须写明每个子博弈上的行动 |
| 把协调博弈当成囚徒困境 | 囚徒困境：占优策略组合的结果比另一个组合更差；协调博弈：两个 NE，其中一个是双方都更想要的 |
| 看到不可信威胁就以为不会发生 | 结论要写“威胁不可信 ⟹ 理性对手会无视它，因此均衡路径是……” |
① 逐行找出“给定对方每个选择下的最优回应”，把该支付圈起来；② 逐列做同样的事；③ 一个格子如果两个玩家的支付都被圈了，它就是 NE；④ 数一数圈了几个，全部写出来。