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Week 3 · L5–L6

弹性与福利：给市场结果一把尺子

这一周给你两件工具：弹性（衡量敏感度，是政策的钥匙）和福利（CS/PS/TS/DWL，评价市场好坏）。后面所有政策题、垄断题、贸易题都要用它们。预计 14–20 分（弹性 6–10 + 福利 8–12）。

考点密度 ★★★★★ 预计分值 14–20 分 建议用时 2.5 小时

一、这一周在讲什么

1.1 弹性：为什么它比“斜率”更有用

斜率受单位影响（换成克、角就会变），而弹性（elasticity）是无量纲的（unit-free），因此可以跨产品、跨单位比较，还能解释为“价格变动 1% 引起数量变动的百分比”。本课程一律使用点弹性（point elasticity），不用弧弹性——因为弧弹性依赖起点，同一段价格用三种算法会给出 0.75 / 1.33 / 2.5 三个不同结果，所以被弃用。答题时把这句话写上去，本身就是加分点。

弹性的三个决定因素：必需程度（越必需越不弹）、替代品可得性（替代品越多越弹）、时间跨度（越长越弹）。

1.2 弹性与总收益：一条必考的链条

提价时，数量会下降。总收入（TR）是升还是降，取决于“数量的降幅”与“价格的升幅”谁更大：

  • 无弹性（\(|\varepsilon_D|<1\)）：数量降幅 < 1% ⟹ TR 上升。
  • 单位弹性（\(|\varepsilon_D|=1\)）：TR 不变，且此处 TR 最大。
  • 有弹性（\(|\varepsilon_D|>1\)）：数量降幅 > 1% ⟹ TR 下降。

在同一条线性需求曲线上，弹性是变化的：高价端弹性大、低价端弹性小，中点处 \(|\varepsilon_D|=1\)。

1.3 福利：评价市场结果的尺子

消费者剩余 CS = 愿付 − 实付 = 需求曲线以下、价格以上的面积。生产者剩余 PS = 实收 − 愿卖 = 价格以上、供给曲线以下的面积。总剩余 \(TS=CS+PS\)。效率的定义是“使 TS 最大的配置”，即 \(MB=MC\)（也就是 \(Q^*\)）。

无谓损失（deadweight loss, DWL）\(=TS_{\max}-TS\)。只要成交量偏离 \(Q^*\)，就必然产生 DWL——这一点在税收、价格管制、垄断、外部性里会反复用到。

亚当·斯密的“看不见的手”（invisible hand）：个体追求私利常能更有效地促进社会利益。但效率不是唯一标准：分配也重要；支付意愿（WTP）同时反映支付能力；均值与目的同样重要。

二、核心公式与图形

四类弹性 \[ \varepsilon_D=\frac{dQ_D}{dP}\cdot\frac{P}{Q_D},\quad \varepsilon_S=\frac{dQ_S}{dP}\cdot\frac{P}{Q_S},\quad \varepsilon_Y=\frac{dQ_D}{dY}\cdot\frac{Y}{Q_D},\quad \varepsilon_{AB}=\frac{dQ_A}{dP_B}\cdot\frac{P_B}{Q_A} \]
需求价格弹性取绝对值讨论；交叉弹性是“A 的数量对 B 的价格”。
边际收益与弹性的关系 \[ MR=P\left(1-\frac{1}{\varepsilon_D}\right), \qquad TR\ \text{最大} \iff |\varepsilon_D|=1 \iff MR=0 \]
这条式子同时连接了 W3（弹性）、W9（垄断定价）与 W10（价格歧视）。
福利三个面积 \[ CS=\tfrac{1}{2}(P_{\text{截距}}-P^*)Q^*, \qquad PS=\tfrac{1}{2}(P^*-P_{\text{截距}}^{\,S})Q^*, \qquad TS=CS+PS \]
\(DWL=TS_{\max}-TS\)。偏离 \(Q^*\) 的成交量，其边际社会价值为负（\(MC>MB\)）。
D S E P* Q* CS PS Q P
图 1：福利三面积。CS 在需求曲线下、价格上；PS 在价格下、供给曲线上；两者之和为 TS。
D |ε|>1 富有弹性 |ε|=1 |ε|<1 缺乏弹性 Q P
图 2：线性需求从左上到右下，弹性由大变小；中点 \(|ε|=1\) 处总收益最大。

三、考点清单与预测题型

题型出现概率分值估计拿分要点
计算 点弹性计算与判断必考3公式 + 代入 + 结论三步走；带绝对值判断 elastic/inelastic
计算 TR 最大点高频3单位弹性 ⟺ MR=0 ⟺ 线性需求中点
论述 弹性决定政策效果（童工案例）中3–4需求弹性大、供给弹性小 ⟹ 需求侧政策无效、供给侧政策有效
计算 CS/PS/TS 三步计算必考5–6先求均衡，再画面积，最后代入 ½×底×高
选择 偏离 Q* 的福利损失高频2成交量高于 Q* 时 \(MC>MB\)，右尾面积为负贡献

依据：2017 S1 A2、2024 S1 MCQ（TR 最大点）、Tutorial 4 Task 1–2 稳定覆盖；福利与税收几乎每年合并成一道大题（约 22–28 分合计）。

四、典型例题精讲

例 1（点弹性与 TR，Tutorial 4 Task 1 原题）

题目：\(Q_D=400-5P\)。在 \(Q=100,200,250\) 处求需求价格弹性，判断弹性/非弹性，并求各点总收益、说明 TR 在哪最大。

QPε_D = −5P/Q性质TR = P·Q
10060−3富有弹性6,000
20040−1单位弹性8,000 ★
25030−0.6缺乏弹性7,500

TR 在 \(Q=200\)（\(|\varepsilon_D|=1\)）处最大。原因：线性需求的中点就是单位弹性点；弹性大于 1 时降价增收，弹性小于 1 时降价减收，所以最大值出现在分界点上。

评分点：① 弹性必须带负号（或明确说明取绝对值）；② 必须写出 \(|\varepsilon_D|=1\iff MR=0\iff TR\) 最大这条链条，只写“中点”只能拿一半分。

例 2（CS/PS/TS 三步计算）

题目：\(Q_D=10-P\)、\(Q_S=3P\)。求 \(P^*,Q^*\)、CS、PS、TS。

解：

  1. \(10-P=3P\Rightarrow P^*=2.5,\ Q^*=7.5\)。
  2. 需求截距 \(P=10\)（令 \(Q=0\)），供给截距 \(P=0\)。
  3. \(CS=\frac{1}{2}(10-2.5)(7.5)=28.125\)；\(PS=\frac{1}{2}(2.5-0)(7.5)=9.375\)。
  4. \(TS=28.125+9.375=37.5\)。

评分点：① 均衡（1 分）；② 两个截距（1 分）；③ CS、PS、TS 各 1 分，且写成“½×底×高”的式子（1 分）；④ 收尾句：“Total surplus is maximised at \(Q^*\) where marginal benefit equals marginal cost.”

例 3（弹性决定政策效果，JB Case 2.5 童工案例）

题目：用弹性论证：为什么“禁止进口童工产品”（需求侧政策）效果差，而“补贴上学”（供给侧政策）效果好？

解：童工市场里，需求的价格弹性大而供给的价格弹性小。需求侧政策（禁进口）使需求下移，但因为供给缺乏弹性（贫困家庭不得不送孩子工作），童工数量几乎不变，只是工资被压低——伤害了本已贫困的家庭。供给侧政策（补贴上学）提高上学的机会成本，直接作用在数量上，能让童工数量大幅下降、工资反而上升。

评分点：必须写出“需求弹性大 / 供给弹性小”这一对判断，再由弹性推出“数量变化幅度”，最后落到政策结论。这是“弹性决定政策效果”的经典论述题，考的是逻辑链而不是记忆。

五、易错点与考场技巧

易错点正确做法
以为一条线性需求上弹性不变同一条线上弹性变化（因为 \(P/Q\) 变），中点为单位弹性
弹性符号处理混乱需求价格弹性讨论时取绝对值；交叉弹性符号有含义（正=替代）
交叉弹性方向写反\(\varepsilon_{AB}\) 是“A 的数量对 B 的价格”，不要写成对 \(P_A\)
CS/PS 面积画错CS 在需求曲线下、价格上；PS 在价格下、供给曲线上
把“无效率”当成“净损失方向错误”成交量高于 \(Q^*\) 时 \(MC>MB\)，DWL 在 \(Q^*\) 右侧
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60 秒画图训练

给自己 60 秒，从空白坐标轴画出一张带 CS、PS 标注的供需图，并标出 \(Q^*\) 右侧那块本该是 DWL 的区域。能默画这张图，你这一周的图形分就稳了。

六、3 分钟自测

例 1\(Q_D=400-5P\)，总收益最大时的数量是？
A100
B150
C200
D250
例 2\(Q_D=200-4P\)、\(Q_S=6P\)，在均衡处的需求点弹性是？
A−2.33，富有弹性
B−1.00，单位弹性
C−0.50，缺乏弹性
D−0.67，缺乏弹性
例 3当交易量高于 \(Q^*\) 时，总剩余会怎样？
A继续增加
B下降，因为此时 MC 超过 MB
C不变
D无法判断
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再看一遍

看不懂就再看一遍——第三遍你会笑自己当初怎么不懂。